Probabilidad de

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Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias geométricas independientes con el parámetro $p$ . ¿Cuál es la probabilidad de que $X_1 \geq X_2$ ?

Estoy confundido acerca de esta pregunta porque no se nos dice nada sobre $X_1$ y $X_2$ aparte de que son geométricos. ¿No sería esto $50\%$ porque $X_1$ y $X_2$ pueden ser cualquier cosa en el rango?

EDITAR: nuevo intento

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ y $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Por lo tanto, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Sumar $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ para eso, obtengo $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

¿Es esto correcto?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
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3

Agregue la etiqueta 'autoestudio'.

— StubbornAtom

1

En realidad porque X1y X2son variables discretas, la igualdad hace las cosas un poco menos obvias.

— usεr11852

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$50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Una aproximación:

$P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

Hay una conexión obvia entre los dos primeros. Escribe una expresión para el tercero y simplifica. Por lo tanto, resuelve la pregunta.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Edité mi publicación con mi nueva respuesta. ¿Podrías echar un vistazo y ver si es correcto?

— IrCa

1

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

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Su respuesta, siguiendo la sugerencia de Glen, es correcta. Otra forma, menos elegante, es solo condicionar:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Esto le dará el mismo , después de manejar las dos series geométricas. El camino de Glen es mejor. $1/(2-p)$

— zen
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nota: creo que su camino es mejor para aplicar a nuevos problemas. Porque se basa en los primeros principios. El truco / intuiton de la respuesta de glen_b por lo general viene después de que el problema ha sido resuelto a su manera

— probabilityislogic

3

@probabilityislogic Comparto su entusiasmo por las derivaciones de los "primeros principios". Sin embargo, para un matemático moderno, buscar y explotar la simetría es aún más fundamental que los primeros principios (definiciones) a los que se refiere: podríamos llamarlo un metaprincipio de las matemáticas. Es mucho más que un simple "truco".

— whuber