Probabilidad de


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Supongamos que X1 y X2 son variables aleatorias geométricas independientes con el parámetro p . ¿Cuál es la probabilidad de que X1X2 ?

Estoy confundido acerca de esta pregunta porque no se nos dice nada sobre X1 y X2 aparte de que son geométricos. ¿No sería esto 50% porque X1 y X2 pueden ser cualquier cosa en el rango?

EDITAR: nuevo intento

P(X1X2)=P(X1>X2)+P(X1=X2)

P(X1=X2) =x (1p)x1p(1p)x1p =p2p

P(X1>X2) = P(X1<X2) yP(X1<X2)+P(X1>X2)+P(X1=X2)=1

Por lo tanto, P(X1>X2) = 1P(X1=X2)2 =1p2p
SumarP(X1=X2)=p2p para eso, obtengoP(X1X2)=12p

¿Es esto correcto?


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StubbornAtom

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En realidad porque X1y X2son variables discretas, la igualdad hace las cosas un poco menos obvias.
usεr11852

Respuestas:


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50%P(X1=X2)>0

Una aproximación:

P(X1>X2),P(X2>X1)P(X1=X2)

Hay una conexión obvia entre los dos primeros. Escribe una expresión para el tercero y simplifica. Por lo tanto, resuelve la pregunta.


Edité mi publicación con mi nueva respuesta. ¿Podrías echar un vistazo y ver si es correcto?
IrCa

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P(X1X2)=12+12P(X1=X2)X1X2

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Su respuesta, siguiendo la sugerencia de Glen, es correcta. Otra forma, menos elegante, es solo condicionar:

Pr{X1X2}=k=0Pr{X1X2X2=k}Pr{X2=k}=k=0=kPr{X1=}Pr{X2=k}.

Esto le dará el mismo , después de manejar las dos series geométricas. El camino de Glen es mejor.1/(2p)


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nota: creo que su camino es mejor para aplicar a nuevos problemas. Porque se basa en los primeros principios. El truco / intuiton de la respuesta de glen_b por lo general viene después de que el problema ha sido resuelto a su manera
probabilityislogic

3
@probabilityislogic Comparto su entusiasmo por las derivaciones de los "primeros principios". Sin embargo, para un matemático moderno, buscar y explotar la simetría es aún más fundamental que los primeros principios (definiciones) a los que se refiere: podríamos llamarlo un metaprincipio de las matemáticas. Es mucho más que un simple "truco".
whuber
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