¿Existen pruebas estadísticas "esotéricas" con muy baja potencia?

Antecedentes

En informática, matemáticas y, a veces, en otros campos, los ejemplos "esotéricos" no solo pueden ser entretenidos, sino útiles para ilustrar ciertos conceptos, por ejemplo:

Bogosort y Slowsort son algoritmos de clasificación muy ineficientes que pueden usarse para comprender las propiedades de los algoritmos, en particular cuando se comparan con otros algoritmos de clasificación.
Los lenguajes de programación esotéricos demuestran cuán amplio es el concepto de lenguaje de programación y ayudan a apreciar buenos lenguajes de programación.
La función de Weierstraß y la función de Dirichlet se utilizan principalmente para ilustrar ciertos conceptos erróneos sobre el concepto de continuidad.

Actualmente estoy preparando algunas enseñanzas sobre el uso de pruebas de hipótesis y creo que tener una prueba con muy baja potencia (pero sin otros defectos) ayudaría a ilustrar el concepto de potencia estadística. (Por supuesto, todavía tengo que decidir si un ejemplo dado es didácticamente útil para mi audiencia o simplemente confuso).

Pregunta real

¿Hay alguna prueba estadística con potencia intencionalmente baja, más específicamente:

La prueba se ajusta al marco general de las pruebas de hipótesis, es decir, funciona con una hipótesis nula, tiene requisitos y devuelve un valor p (correcto) .
No está destinado / propuesto para una aplicación seria.
Tiene una potencia muy baja (debido a un defecto de diseño intencional y no debido a un tamaño de muestra o efecto bajo).

Si puede argumentar fundamentalmente que tal prueba no puede existir, también consideraría que esta es una respuesta válida a mi pregunta. Si, por otro lado, existe una gran cantidad de tales pruebas, estoy interesado en la más eficiente didácticamente, es decir, debe ser fácilmente accesible y tener un efecto sorprendente.

Tenga en cuenta que no solicito una selección general de errores estadísticos (selección de cerezas, etc.) o similares.

Lo que encontré hasta ahora

Las búsquedas en Internet no me devolvieron nada.

Cada intento de construir algo como esto terminó en alguna prueba existente (útil) o el formato no es el de una prueba regular. Por ejemplo, pensé en una prueba de si una población tiene una mediana positiva que arroja solo sí si todas las muestras son positivas; pero esa prueba no devuelve un valor p y, por lo tanto, no se ajusta al marco de prueba habitual. Si solo cuento los signos positivos y negativos como una estadística de prueba (y calculo los valores de p en consecuencia), termino con la prueba de signos , que es una prueba razonable.

hypothesis-testing teaching humor

— revs Wrzlprmft
fuente

Al ser más matemáticos, los ejemplos "esotéricos" (que abundan) tienden a ser contraejemplos específicos de malentendidos populares; Varios libros de texto contienen tales ejemplos. Tal como está, su pregunta es esencialmente una pregunta de tipo "lista grande" y, por lo tanto, es demasiado amplia (aunque debe tener en cuenta que varios usuarios han concluido que la pregunta no está clara); Si puede aclarar su pregunta y limitar su alcance, puede encajar mejor en el sitio.

— Glen_b -Reinstalar a Monica

¿Baja potencia en comparación con qué? Lehmann dio un ejemplo de una prueba de razón de probabilidad generalizada que tenía una potencia menor bajo cualquier hipótesis alternativa que bajo la nula.

— Scortchi - Restablece a Monica

t

$t$

Sacaré el periódico de Lehmann cuando esté frente a una computadora. El poder de una prueba bajo nulo es solo el tamaño de la prueba.

— Scortchi - Restablece a Monica

Un ejemplo de prueba utilizado en una clase en la que fui estudiante (hace muchos años) fue "tira un dado de 20 caras y rechaza si sacas un 1" (como parte de una discusión sobre las curvas de poder). Esto, por supuesto, ignora por completo los datos, pero es una prueba "válida" ya que no tiene una tasa de error de tipo I más alta que la deseada (que fue del 5% en el contexto en el que se dio el ejemplo).

— Glen_b -Reinstalar a Monica

Respuestas:

E ϕ (X) = α

$\operatorname{E}\phi(X)=\alpha$

ϕ (x) = {\begin{cases} 0 & when f_{0} (x) < k f_{1} (x) \\ 1 & when f_{0} (x) > k f_{1} (x) \end{cases}

$\phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when $f_0(x) < kf_1(x)$} \\ 1\ & \text{when $f_0(x) > kf_1(x)$} \end{cases}$

α

$\alpha$

ϕ

$\phi$

H_{0} :

$H_0:$

f_{0}

$f_0$

H_{1} :

$H_1:$

f_{1}

$f_1$

x

$x$

A partir de este resultado, puede derivar pruebas "totalmente sesgadas" uniformemente menos potentes, localmente menos potentes, uniformemente menos potentes, similares y menos potentes (me refiero a aquellos con menor poder en cualquier alternativa que en la nula). Si ya tiene un uniformemente más poderoso, & c. prueba, simplemente multiplique su estadística de prueba por -1 para mantener la partición del espacio muestral que induce mientras invierte el orden de las particiones.

Tal vez, como sugiere @ user54038, "el fracaso de un método general de construcción de pruebas" podría ser más interesante. Lehmann (1950), "Algunos principios de la teoría de probar hipótesis estadísticas", Ann. Matemáticas. Estadístico. , 21 , 1, atribuye el siguiente ejemplo a Stein:

$X$ $0, \pm 1, \pm 2$

$\begin{array}{rccccc} - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ Hypothesis H : & \frac{α}{2} & \frac{α}{2} & \frac{1}{2} - α & \frac{1}{2} - α & α \\ Alternatives: & p C & (1 - p) C & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & α \frac{1 - c}{1 - α} \end{array}$ $\begin{array}{r c c c c c} & -2 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \hline \text{Hypothesis $H$:} & \frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha}{2} & \frac{1}{2} - \alpha & \frac{1}{2} - \alpha & \alpha\\ \hline \text{Alternatives:} & pC & (1-p)C & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \alpha\frac{1-c}{1-\alpha}\\ \end{array}$ $\alpha$ $C$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ $\frac{\alpha}{2-\alpha}< C <\alpha$ $p$ $[0,1]$

$H$ $\alpha$ $X=\pm2$ $C$ $C<\alpha$ $\alpha$ $X$

$p$ $X=-2$ $X=2$ $\hat p=1$ $\hat p=0$ $\frac{2C}{\alpha}$ $X$ $\frac{1-C}{1-\alpha}$

— Scortchi
fuente

(Relacionado con el comentario de @Scortchi)

$X \sim N(\mu, 1)$

\begin{aligned} H_{0} & : μ = 0 \\ H_{1} & : μ \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}$

$Z \sim Bernoulli(p)$ $p$ $\alpha$ $p \in [\alpha, 1]$

R = {(X, Z) | z = 1 \land | x | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})}

$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$

$\alpha$

\begin{aligned} P (X \in R | μ = 0) & = P (Z = 1, | X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = P (Z = 1) P (| X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = p \frac{α}{p} = α \end{aligned}

$\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}$

$p$ $(x, z) = (1000000, 0)$ $p=\alpha$ $X$ $\alpha$

$Z$

— knrumsey
fuente

S

$S$

Z = 1 (S < F_{S}^{- 1} (p))

$Z=\boldsymbol{1}(S<F_S^{-1}(p))$

F_{S} (\cdot)

$F_S(\cdot)$

S

$S$