Terminología para la media de probabilidad bayesiana posterior con prioridad uniforme

Si Uniform y Bin , entonces la media posterior de viene dada por . $p \sim$ $(0,1)$ $X \sim$ $(n, p)$ $p$ $\frac{X+1}{n+2}$

¿Hay un nombre común para este estimador? Descubrí que resuelve los problemas de muchas personas y me gustaría poder señalar a las personas a una referencia, pero no he podido encontrar el nombre correcto para ello.

Recuerdo vagamente que esto se llama algo así como el "estimador + 1 / + 2" en un libro de estadísticas 101, pero ese no es un término muy buscable.

bayesian terminology laplace-smoothing

— Acantilado
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Respuestas:

Con anterior y probabilidad mostrando éxitos en pruebas, la distribución posterior es (Esto se ve fácilmente multiplicando los núcleos de lo anterior y la probabilidad de obtener el núcleo de lo posterior). $\mathsf{Unif}(0,1) \equiv \mathsf{Beta}(\alpha_0=1,\beta_0 =1)$ $\mathsf{Binom}(n, \theta)$ $x$ $n$ $\mathsf{Beta}(\alpha_n=1 + x,\; \beta_n = 1 + n - x).$

Entonces la media posterior es

μ_{n} = \frac{α_{n}}{α_{n} + β} = \frac{x + 1}{n + 2} .

$\mu_n = \frac{\alpha_n}{\alpha_n+\beta} = \frac{x+1}{n+2}.$

En un contexto bayesiano, solo usar la terminología media posterior puede ser lo mejor. (La mediana de la distribución posterior y el máximo de su PDF también se han utilizado para resumir la información posterior).

Notas: (1) Aquí está utilizando como una distribución previa no informativa. Sobre bases teóricas sólidas, algunos estadísticos bayesianos prefieren utilizar el anterior de Jeffrey como un previo no informativo. Entonces la media posterior es $\mathsf{Beta}(1,1)$ $\mathsf{Beta}(\frac 1 2, \frac 1 2)$ $\mu_n = \frac{x+.5}{n+1}.$

(2) Al hacer intervalos de confianza frecuentes, Agresti y Coull han sugerido "agregar dos éxitos y dos fracasos" a la muestra para obtener un intervalo de confianza basado en el estimador que tiene probabilidades de cobertura más precisas (que el intervalo de Wald tradicional conDavid Moore lo ha calificado como un estimador de más cuatro en algunos de sus textos estadísticos elementales ampliamente utilizados, y la terminología ha sido utilizada por otros. No me sorprendería ver su estimador llamado 'más dos' y Jeffries 'llamado' más uno '. $\hat p = \frac{x+2}{n+4},$ $\hat p = \frac x n).$

(3) Todos estos estimadores tienen el efecto de 'reducir el estimador hacia 1/2' y, por lo tanto, se les ha llamado 'estimadores de contracción' (un término que se usa mucho más ampliamente, particularmente en la inferencia de James-Stein). Ver respuesta (+1) de @Taylor.

— BruceET
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Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/185221 .

— Royi

sí, pero ¿cómo ayuda eso con la terminología ?

— BruceET

Ayuda con la derivación que escribió es fácil. Supongo que algunas personas pueden encontrar esta pregunta al buscar la derivación en sí.

— Royi

(2) es realmente lo que me interesaba. No me di cuenta de que el estimador se presentó para justificaciones puramente frequentistas. En los casos en que lo prescribo como una solución, siempre es algo así como cómo calcular una probabilidad cuando un cierto multinomio no se ha visto antes (es decir, la agrupación en recuentos de letras y un grupo no incluye "z" s), por lo que nada hacer con las probabilidades de cobertura de los IC. ¡Gracias!

— Cliff AB

En una aplicación práctica, no puede ignorar ni la probabilidad de cobertura ni la longitud promedio del CI. De lo contrario, estaría contento con un CI 100% multipropósito para que la probabilidad de éxito binomial sea el intervalo completamente no informativo// Vota por indicar claramente en este Comentario tu razón para hacer la pregunta.

(0, 1) .

$(0,1).$

— BruceET

Esto se llama suavizado de Laplace , o la regla de sucesión de Laplace , ya que Pierre-Simon Laplace lo usó para estimar la probabilidad de que el sol vuelva a salir mañana: "Por lo tanto, encontramos que un evento ha ocurrido varias veces, la probabilidad de que vuelva a suceder la próxima vez es igual a este número aumentado por la unidad, dividido por el mismo número aumentado por dos unidades ".

Essai philosophique sur les probabilités par le marquis de Laplace

— Xi'an
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(+1) para referencia histórica

— BruceET

(+1) Tanto esta como las respuestas de @ BruceET fueron diferentes pero correctas a mi pregunta.

— Cliff AB

Podrías llamarlo un estimador de contracción . El estimador está más cerca de que la media muestral más ubicua. $.5$

— Taylor
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(+1) Eso es cierto, es un estimador de contracción. Quería un nombre específico para el caso binomial / multinomial para poder señalar a otros investigadores material sobre ese estimador exacto para que no piensen que solo digo "agregue 1 a las cosas hasta que obtenga la respuesta que desea", pero también no tiene que comenzar desde el principio de explicar qué son las estadísticas bayesianas.

— Cliff AB