Tamaño mínimo de muestra por conglomerado en un modelo de efectos aleatorios

¿Existe un racional para el número de observaciones por grupo en un modelo de efectos aleatorios? Tengo un tamaño de muestra de 1,500 con 700 grupos modelados como efecto aleatorio intercambiable. Tengo la opción de fusionar clústeres para construir menos clústeres, pero más grandes. Me pregunto cómo puedo elegir el tamaño mínimo de muestra por grupo para tener resultados significativos en la predicción del efecto aleatorio para cada grupo. ¿Hay un buen artículo que explique esto?

TL; DR : el tamaño mínimo de muestra por conglomerado en un modelo de efectos mixtos es 1, siempre que el número de conglomerados sea adecuado y la proporción de conglomerados únicos no sea "demasiado alta"

Versión más larga:

En general, el número de grupos es más importante que el número de observaciones por grupo. Con 700, claramente no tienes ningún problema allí.

Los tamaños de conglomerados pequeños son bastante comunes, especialmente en las encuestas de ciencias sociales que siguen diseños de muestreo estratificados, y existe un conjunto de investigaciones que ha investigado el tamaño de la muestra a nivel de conglomerados.

Si bien el aumento del tamaño del grupo aumenta el poder estadístico para estimar los efectos aleatorios (Austin y Leckie, 2018), los tamaños pequeños del grupo no conducen a un sesgo grave (Bell et al, 2008; Clarke, 2008; Clarke y Wheaton, 2007; Maas y Hox , 2005). Por lo tanto, el tamaño mínimo de muestra por grupo es 1.

En particular, Bell, et al (2008) realizaron un estudio de simulación de Monte Carlo con proporciones de grupos únicos (grupos que contienen una sola observación) que van del 0% al 70%, y descubrieron que, siempre que el número de grupos fuera grande (~ 500) los pequeños tamaños de clúster casi no tuvieron impacto en el sesgo y el control de errores Tipo 1.

También informaron muy pocos problemas con la convergencia del modelo en cualquiera de sus escenarios de modelado.

Para el escenario particular en el OP, sugeriría ejecutar el modelo con 700 clústeres en primera instancia. A menos que hubiera un problema claro con esto, no estaría dispuesto a fusionar clústeres. Ejecuté una simulación simple en R:

Aquí creamos un conjunto de datos en clúster con una varianza residual de 1, un efecto fijo único también de 1, 700 clústeres, de los cuales 690 son singletons y 10 tienen solo 2 observaciones. Ejecutamos la simulación 1000 veces y observamos los histogramas de los efectos aleatorios fijos y residuales estimados.

> set.seed(15)
> dtB <- expand.grid(Subject = 1:700, measure = c(1))
> dtB <- rbind(dtB, dtB[691:700, ])
> fixef.v <- numeric(1000)
> ranef.v <- numeric(1000)
> for (i in 1:1000) { 
   dtB$x <- rnorm(nrow(dtB), 0, 1)
   dtB$y <- dtB$Subject/100 + rnorm(nrow(dtB), 0, 1) + dtB$x * 1

   fm0B <- lmer(y ~ x + (1|Subject), data = dtB)
   fixef.v[i] <- fixef(fm0B)[[2]]
   ranef.v[i] <- attr(VarCorr(fm0B), "sc")
 }
> hist(fixef.v, breaks = 15)
> hist(ranef.v, breaks = 15)

Como puede ver, los efectos fijos están muy bien estimados, mientras que los efectos aleatorios residuales parecen ser un poco sesgados, pero no drásticamente:

> summary(fixef.v)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.6479  0.9439  0.9992  1.0005  1.0578  1.2544 
> summary(ranef.v)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.2796  0.7745  0.9004  0.8993  1.0212  1.4837 

El OP menciona específicamente la estimación de los efectos aleatorios a nivel de clúster. En la simulación anterior, los efectos aleatorios se crearon simplemente como el valor de Subjectla ID de cada uno (reducido en un factor de 100). Obviamente, estos no se distribuyen normalmente, lo cual es la suposición de modelos lineales de efectos mixtos, sin embargo, podemos extraer los (modos condicionales de) los efectos a nivel de clúster y graficarlos contra los SubjectID reales :

> re <- ranef(fm0B)[[1]][, 1]
> dtB$re <- append(re, re[691:700])
> hist(dtB$re)
> plot(dtB$re, dtB$Subject)

El histograma se aparta un poco de la normalidad, pero esto se debe a la forma en que simulamos los datos. Todavía existe una relación razonable entre los efectos aleatorios estimados y reales.

Referencias

Peter C. Austin y George Leckie (2018) El efecto del número de conglomerados y el tamaño del conglomerado sobre la potencia estadística y las tasas de error de Tipo I cuando se prueban componentes de varianza de efectos aleatorios en modelos de regresión logística y lineal multinivel, Journal of Statistical Computation and Simulation, 88: 16, 3151-3163, DOI: 10.1080 / 00949655.2018.1504945

Bell, BA, Ferron, JM y Kromrey, JD (2008). Tamaño del clúster en modelos multinivel: el impacto de las estructuras de datos dispersos en las estimaciones de punto e intervalo en modelos de dos niveles . Actas de JSM, Sección sobre métodos de investigación de encuestas, 1122-1129.

Clarke, P. (2008). ¿Cuándo se puede ignorar la agrupación de nivel de grupo? Modelos multinivel versus modelos de un solo nivel con datos escasos . Revista de Epidemiología y Salud Comunitaria, 62 (8), 752-758.

Clarke, P. y Wheaton, B. (2007). Abordar la escasez de datos en la investigación de población contextual mediante el análisis de conglomerados para crear vecindarios sintéticos . Sociological Methods & Research, 35 (3), 311-351.

Maas, CJ y Hox, JJ (2005). Tamaños de muestra suficientes para el modelado multinivel . Metodología, 1 (3), 86-92.

En modelos mixtos, los efectos aleatorios se estiman con mayor frecuencia utilizando la metodología empírica de Bayes. Una característica de esta metodología es la contracción. A saber, los efectos aleatorios estimados se reducen a la media general del modelo descrito por la parte de efectos fijos. El grado de contracción depende de dos componentes:

1. La magnitud de la varianza de los efectos aleatorios en comparación con la magnitud de la varianza de los términos de error. Cuanto mayor sea la varianza de los efectos aleatorios en relación con la varianza de los términos de error, menor será el grado de contracción.

2. El número de mediciones repetidas en los grupos. Las estimaciones de efectos aleatorios de los grupos con más mediciones repetidas se reducen menos hacia la media general en comparación con los grupos con menos mediciones.

En su caso, el segundo punto es más relevante. Sin embargo, tenga en cuenta que su solución sugerida para fusionar clústeres también puede afectar el primer punto.