¿Qué significa decir que tienen una distribución Normal "común"?


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Una pregunta de ejercicio hace

Supongamos que son rvs que tienen una distribución Normal común con . Calcule el coeficiente de dependencia de la cola superior para todos .X1,X2norte(0 0,1)Corr(X1,X2)=ρρ[-1,1]

¿Qué significa que dice que tienen una distribución Normal "común"?

Lo primero que pensé fue que significaban que y son variables distribuidas normales univariadas . Sin embargo, si eso es cierto, entonces la pregunta no tiene sentido. La dependencia de la cola no se puede calcular.X1X2N(0,1)

Entonces, ¿me dejan creer que por distribución normal "común" se refieren a la distribución normal bivariada?

Respuestas:


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Significa que dos cosas son ciertas.

Primero:

P(X1<t)=P(X2<t)

para todos los números reales t (es decir, X1 y X2tienen la misma distribución, a menudo la taquigrafía equidistribuida se usa para describir esta condición).

Segundo:

P(X1<t)=1σ2πte(xμ)22σ2dx

para algunos números fijos μ y σ (es decir, la distribución de X1 (*) es una distribución normal).

Esto no implica que (X1,X2)Es una articulación normal sin más suposiciones. Si eso fue lo que se pretendía, no es lo que el autor realmente escribió.

(*) Dada la primera condición, esto implica que la distribución de X2 También es una distribución normal.


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Creo que "común" aquí solo significa que la distribución marginal N(0,1)es común a ambas variables aleatorias (es decir, tienen la misma distribución marginal). Aunque técnicamente esto es insuficiente para dar una distribución normal bivariada, creo que el escritor probablemente pretendía esa forma:

[XY]N([00],[1ρρ1]).

Esa especificación produciría distribuciones marginales comunes XN(0,1) y YN(0,1). Si yo fuera usted, sugeriría señalar este tecnicismo, y luego proceder sobre la base de que las variables aleatorias son bivariadas normales. Es posible que desee volver a notar el problema como una advertencia una vez que dé su respuesta.


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El ejercicio está mal redactado. Sospecho que lo que se quiere decir es que las dos variables aleatorias son conjuntamente normales y tienen una distribución común. Si son normales por separado pero no son normales, entonces no tiene suficiente información para responder la pregunta. Si mi sospecha es correcta, entonces el ejercicio debería haber dicho que son conjuntamente normales.

Tener una distribución "común" simplemente significa que ambos tienen la misma distribución. Así:

[X1X2]N([μ1μ2],[σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22]) not common[X1X2]N([μμ],[σ2ρσ2ρσ2σ2]) common
En el segundo caso tenemos XiN(μ,σ2) para i=1,2, así, cada uno se distribuye normalmente y tienen esa distribución normal en común.

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