Problema de identificación de parámetros

Siempre lucho por obtener la verdadera esencia de la identificación en econometría. Sé que afirmamos que se puede identificar un parámetro (por ejemplo, ) si simplemente mirando su distribución (conjunta) podemos inferir el valor del parámetro. En un caso simple de , donde podemos afirmar que se identifica si sabemos que su varianza . Pero, ¿qué pasa si donde es un parámetro desconocido? ¿Puede y ser identificados?$\hat{\theta}$$y=b_1X+u$$E[u]=0,E[u|x]=0$$b_1$$Var(\hat{b})>0$$E[u|X]=a$$a$$a$$b_1$

Si expando el modelo a donde y , para mostrar que están identificados, haga ¿Simplemente tengo que repetir que la varianza de los tres parámetros es mayor que cero?$Y=b_0+b_1X+b_2XD=u$$D\in\{0,1\}$$E[u|X,D]=0$$b_1,b_2,b_3$

Agradezco toda la ayuda para aclarar mi mente con respecto a la identificación.

Primero definamos los siguientes objetos: en un modelo estadístico que se usa para modelar en función de , hay parámetros designados por vector . Se permite que estos parámetros varíen dentro del espacio de parámetros . No estamos interesados ​​en la estimación de todos estos parámetros, sino solo de un cierto subconjunto, digamos en de los parámetros que denotamos y que varía dentro del espacio de parámetros . En nuestro modelo las variables y los parámetros$M$$Y$$X$$p$$\theta$$\Theta \subset \mathbb{R^p}$$q \leq p$$\theta^0$$\Theta^0 \subset \mathbb{R^q}$$M$$X$$\theta$ ahora se asignarán como para explicar . Esta asignación está definida por y los parámetros.$Y$$M$

Dentro de este entorno, la identificabilidad dice algo sobre la equivalencia observacional . En particular, si los parámetros son identificables wrt entonces mantendrá que . En palabras, no existe un parámetro diferente vector que induciría el mismo proceso de generación de datos, dada nuestra especificación del modelo . Para hacer estos conceptos más concebibles, doy dos ejemplos.$\theta^0$$M$$\nexists \theta^1 \in \Theta^0: \theta^1 \neq \theta^0, M(\theta^0) = M(\theta^1)$$\theta^1$$M$

Ejemplo 1 : Definir para ; el modelo estadístico simple : y supongamos que (entonces ). Está claro que si o , siempre mantendrá que es identificable: el proceso que genera partir de tiene una relación con los parámetros y . Fijación$\theta = (a,b)$$X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$$M$

$$\begin{align} Y = a+Xb+\varepsilon \end{align}$$ $(a,b) \in \mathbb{R^2}$$\Theta = \mathbb{R^2}$$\theta^0 = (a,b)$$\theta^0 = a$$\theta^0$$Y$$X$$1:1$$a$$b$$(a,b)$ , no será posible encontrar una segunda tupla en describa el mismo proceso de generación de datos.$\mathbb{R}$

Ejemplo 2 : Definir para ; el modelo estadístico más complicado : $\theta = (a,b,c)$$X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$$M'$

$$\begin{align} Y = a+X(\frac{b}{c})+\varepsilon \end{align}$$ y supongamos que $(a,b) \in \mathbb{R^2}$ y $c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ (entonces $\Theta = \mathbb{R^3}\setminus\{(l,m,0)| (l,m) \in \mathbb{R^2}\}$) Mientras que para$\theta^0$, este sería un modelo estadístico identificable, esto no se cumple si uno incluye otro parámetro (es decir, $b$ o $c$) ¿Por qué? Porque para cualquier par de , existen infinitamente muchos otros pares en el conjunto . La solución obvia al problema en este caso sería introducir un nuevo parámetro reemplace la fracción para identificar el modelo. Sin embargo, uno podría estar interesado en y como parámetros independientes para razones teóricas - los parámetros podrían corresponder a los parámetros de interés en un (económico) sentido teoría. (Por ejemplo, podría ser 'propensión al consumo' podría ser 'confianza', y es posible que desee estimar estas dos cantidades a partir de su modelo de regresión. Desafortunadamente, esto no sería posible).$(b,c)$$B:=\{(x,y)|(x/y) = (b/c), (x,y)\in\mathbb{R}^2\}$$d = b/c$$b$$c$$b$$c$