¿Por qué el lema de Neyman-Pearson es un lema y no un teorema?

Esta es más una pregunta de historia que una pregunta técnica.

¿Por qué el `` lema de Neyman-Pearson '' es un lema y no un teorema?

enlace a wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : La pregunta no es sobre qué es un lema y cómo se usan los lemas para probar un teorema, sino sobre la historia del lema de Neyman-Pearson. ¿Se usó para probar un teorema y luego resultó ser más útil? ¿Hay alguna evidencia de esto más allá de la sospecha de que este fue el caso?

NB: Esta histórica primera respuesta a la pregunta de OP. En estadística, el lema de Neyman-Pearson fue presentado por Jerzy Neyman y Egon Pearson en un artículo en 1933 .. Además, los estadísticos lo usan en la práctica como un teorema , no como un lema, y ​​se le llama un lema en gran parte debido al artículo de 1936. En mi humilde opinión, el tratamiento histórico no responde la pregunta "por qué", y esta publicación intenta hacer eso.

Lo que es un lema en contraste con un teorema o corolario se aborda en otro lugar y aquí . Más exactamente, en cuanto a la cuestión de la definición: Lema, primer significado : un teorema subsidiario o intermedio en un argumento o prueba. Estoy de acuerdo con el diccionario de Oxford, pero hubiera cambiado el orden de las palabras, y tenga en cuenta el lenguaje exacto: teorema intermedio o subsidiario. Algunos autores creen erróneamente que un lema debe ser intermediario en una prueba, y este es el caso de muchos lemas sin nombre. Sin embargo, es común, al menos para los lemas nombrados, que el resultado del lema sea una implicación que surge de un teorema ya probado tal que el lema es un teorema adicional, es decir, subsidiario. De la Enciclopedia del Nuevo Mundo La distinción entre teoremas y lemas es bastante arbitraria, ya que el resultado principal de un matemático es el reclamo menor de otro. El lema de Gauss y el lema de Zorn, por ejemplo, son lo suficientemente interesantes per se como para que algunos autores presenten el lema nominal sin pasar a utilizarlo como prueba de ningún teorema. Otro ejemplo de esto es el lema de Evans, que no se deriva de la prueba de un teorema simple de geometría diferencial que ... muestra que la primera ecuación de estructura de Cartan es la igualdad de dos postulados de tétrada ... El postulado de tétrada [ Sic , en sí] es La fuente del Lema de Evans de geometría diferencial. Wikipedia menciona la evolución de los lemas en el tiempo:En algunos casos, a medida que la importancia relativa de los diferentes teoremas se vuelve más clara, lo que alguna vez se consideró un lema ahora se considera un teorema, aunque la palabra "lema" permanece en el nombre.

Sin embargo, tenga en cuenta que si los lemas son independientes o no, también son teoremas. Es decir, un teorema que es un lema a veces puede ser una respuesta a la pregunta: "¿Qué implica el teorema (anterior)?" A veces, los lemas son un trampolín utilizado para establecer un teorema.

Está claro al leer el artículo de 1933: IX. Sobre el problema de las pruebas más eficientes de hipótesis estadísticas. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson y Karl Pearson , que el teorema que se está explorando es el teorema de Bayes . Algunos lectores de esta publicación tienen dificultades para relacionar el teorema de Bayes con el artículo de 1933 a pesar de una introducción que es bastante explícita al respecto. Tenga en cuenta que el documento de 1933 está plagado de diagramas de Venn, los diagramas de Venn ilustran la probabilidad condicional , que es el teorema de Bayes. Algunas personas se refieren a esto como la regla de Bayes, ya que es una exageración referirse a esa regla como un "teorema". Por ejemplo, si tuviéramos que llamar a 'suma' un teorema, en lugar de ser una regla, confundiríamos en lugar de explicar.

Por lo tanto, el lema de Neyman-Pearson es un teorema sobre las pruebas más eficientes de las hipótesis bayesianas, pero actualmente no se llama así porque no era para empezar.

La versión clásica aparece en 1933, pero la primera ocasión en que se la conoce como "lema" posiblemente se encuentra en el artículo de 1936 de Neyman y Pearson Contribuciones a la teoría de probar hipótesis estadísticas (págs. 1-37 de las Memorias de Investigación Estadística Volumen I) . El lema y la proposición que se utilizó para probar se expresaron de la siguiente manera:

Esto se conoce hoy como el Lema fundamental generalizado de Neyman-Pearson (véase el Capítulo 3.6 de las hipótesis estadísticas de prueba de Lehman y Romano ), y se reduce a su diario Neyman-Pearson cuando . El lema mismo fue luego estudiado por varios grandes nombres de esa época (por ejemplo, PL Hsu, Dantzig, Wald, Chernoff, Scheffé) y el nombre "lema de Neyman y Pearson" quedó así.$m=1$

Aquí hay una lista de artículos / libros relevantes si está interesado en la historia del lema de Neyman-Pearson:

• La historia de Neyman-Pearson: 1926-34 , ES Pearson, en Research Papers in Statistical: Festschrift for J. Neyman .
• Introducción a Neyman y Pearson (1933) Sobre el problema de las pruebas más eficientes de hipótesis estadísticas , EL Lehmann, en Breakthroughs in Statistics: Foundations and Basic Theory .
• Neyman-De la vida , C. Reid.