¿Cómo puedo probar si las dos estimaciones de parámetros en el mismo modelo son significativamente diferentes?

Tengo el modelo

$$y=x^a \times z^b + e$$

donde $y$ es la variable dependiente, $x$ y $z$ son variables explicativas, $a$ y $b$ son los parámetros y $e$ es un término de error. Tengo estimaciones de parámetros de $a$ y $b$ una matriz de covarianza de estas estimaciones. ¿Cómo se prueba que si $a$ y $b$ son significativamente diferentes?

La evaluación de la hipótesis de que $a$ y $b$ son diferentes es equivalente a probar la hipótesis nula $a - b = 0$ (en contra de la alternativa de que $a-b\ne 0$ ).

Los siguientes presume de análisis es razonable que a estimar $a-b$ como

$$U = \hat a - \hat b.$$ También acepta la formulación de su modelo (que a menudo es razonable), que, debido a que los errores son aditivos (e incluso podrían producir valores negativos observados de $y$ ), no nos permite linealizarlo tomando logaritmos de ambos lados.

La varianza de $U$ se puede expresar en términos de la matriz de covarianza $(c_{ij})$ de $(\hat a, \hat b)$ como

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Cuando $(\hat a, \hat b)$ se calcula con los mínimos cuadrados, por lo general se utiliza un "test t;" es decir, la distribución de

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ se aproxima mediante unadistribución t de Studentcon$n-2$grados de libertad (donde$n$es el recuento de datos y$2$cuenta el número de coeficientes). En cualquier caso,$t$suele ser la base de cualquier prueba. Puede realizar una prueba Z (cuando$n$es grande o cuando se ajusta a la máxima verosimilitud) o iniciarla, por ejemplo.

Para ser específicos, el valor p de la prueba t viene dado por

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

Re$t$$t$$500$$n=5$$t$$a=b=-1/2.$

$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

Aquí está el código.

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)