Valor esperado de un logaritmo natural.

22

Sé $E(aX+b) = aE(X)+b$ con $a,b$ constantes, por lo que dada $E(X)$ , es fácil de resolver. También sé que no puede aplicar eso cuando es una función no lineal, como en este caso $E(1/X) \neq 1/E(X)$ , y para resolver eso, tengo que hacer una aproximación con Taylor's. Entonces mi pregunta es cómo resuelvo ?? ¿también me acerco a Taylor? $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— Mate
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Sí, puede aplicar el método delta en este caso.

— Michael R. Chernick

55

También deberías investigar la desigualdad de Jensen.

— kjetil b halvorsen

27

En el papel

YW Teh, D. Newman y M. Welling (2006), Algoritmo de inferencia bayesiano variacional colapsado para la asignación de Dirichlet latente , NIPS 2006 , 1353–1360.

una expansión de Taylor de segundo orden alrededor de se usa para aproximar : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Esta aproximación parece funcionar bastante bien para su aplicación.

Modificando esto ligeramente para ajustarse a la cuestión en cuestión rinde, por linealidad de expectativa,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Sin embargo, puede suceder que el lado izquierdo o el derecho no existan mientras que el otro sí, por lo que se debe tener cuidado al emplear esta aproximación.

— usuario1149913
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3

Curiosamente, esto se puede utilizar para obtener una aproximación a la función digamma.

— probabilidadislogic

6

Además, si no necesita una expresión exacta para , a menudo el límite dado por la desigualdad de Jensen es lo suficientemente bueno: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
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X

$X$

\geq

$\ge$

\log

$\log$

5

$X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— zen
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1

Si existe la segunda integral. No necesita hacerlo. Tome la distribución de Cauchy y

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$ .

— mpiktas

Añadiría una segunda capa de pedantería diciendo que realmente necesitas

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$ para que la expectativa esté bien definida.

— probabilidadislogica

2

@mpiktas: esta expectativa en realidad existe pero es infinita. Un mejor ejemplo es

g (x) = x

$g(x)=x$ para la distribución de Cauchy. Esta expectativa depende de cómo los límites inferior y superior de integración tienden al infinito.

— probabilidadislogic

2

@prob: No, no necesita esa condición en su primer comentario, ¡e incluso en una situación que puede ser muy relevante para esta pregunta! (+1 a su segundo comentario, sin embargo, que era algo que también había querido comentar).

— Cardenal

2

@prob: It is sufficient, but if you compare your first comment to your second one, you'll see why it's not necessary! :-)

— cardinal

4

There are two usual approaches:

If you know the distribution of $X$ , you may be able to find the distribution of $\ln(1+X)$ and from there find its expectation; alternatively you may be able to use the law of the unconscious statistician directly (that is, integrate $\ln(1+x) f_{X}(x)$ over the domain of $x$ ).
As you suggest, if you know the first few moments you can compute a Taylor approximation.

— Glen_b -Reinstate Monica
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