Coeficiente negativo en regresión logística ordenada

Supongamos que tenemos la respuesta ordinal $y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$ y un conjunto de variables que creemos que explicará . Luego hacemos una regresión logística ordenada de (matriz de diseño) en (respuesta).$X:=[x_1,x_2,x_3]$$y$$X$$y$

Suponga que el coeficiente estimado de , , en la regresión logística ordenada es . ¿Cómo interpreto el odds ratio (OR) de ?$x_1$$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

¿Debo decir "para un aumento de 1 unidad en , ceteris paribus, las probabilidades de observar son veces las probabilidades de observar , y para el mismo cambio en , las probabilidades de observar son veces las probabilidades de observar "?$x_1$$\text{Good}$$0.607$$\text{Bad}\cup \text{Neutral}$$x_1$$\text{Neutral} \cup \text{Good}$$0.607$$\text{Bad}$

No puedo encontrar ningún ejemplo de interpretación de coeficientes negativos en mi libro de texto o en Google.

Está en el camino correcto, pero siempre eche un vistazo a la documentación del software que está utilizando para ver qué modelo se ajusta realmente. Suponga una situación con una variable dependiente categórica con categorías ordenadas 1 , ... , g , ... , k y predictores X 1 , ... , X j , ... , X p .$Y$$1, \ldots, g, \ldots, k$$X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$

"In the wild", puede encontrar tres opciones equivalentes para escribir el modelo teórico de probabilidades proporcionales con diferentes significados de parámetros implícitos:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(Los modelos 1 y 2 tienen la restricción de que en las regresiones logísticas binarias separadas , la β j no varía con g , y β 0 1 < … < β 0 g < … < β 0 k - 1 , el modelo 3 tiene la misma restricción sobre el β j , y requiere que β 0 2 > ... > β 0 g > ... > β 0 k )$k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$

• En el modelo 1, un positivo significa que un aumento en predictor X j se asocia con mayores probabilidades para un menor categoría en Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• El modelo 1 es algo contradictorio, por lo tanto, el modelo 2 o 3 parece ser el preferido en el software. Aquí, a positivos significa que un aumento en predictor X j se asocia con mayores probabilidades para un mayor categoría en Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Los modelos 1 y 2 conducen a las mismas estimaciones para , pero sus estimaciones para β j tienen signos opuestos.$\beta_{0_g}$$\beta_{j}$
• Los modelos 2 y 3 conducen a las mismas estimaciones para , pero sus estimaciones para β 0 g tienen signos opuestos.$\beta_{j}$$\beta_{0_g}$

Suponiendo que su software usa el modelo 2 o 3, puede decir "con un aumento de 1 unidad en , ceteris paribus, las probabilidades pronosticadas de observar ' Y = Bueno ' versus observar ' Y = Neutral O Malo ' por un factor de e β 1 = 0,607 . "y del mismo modo" con un aumento de 1 unidad en X 1 , ceteris paribus, los predichos probabilidades de observar ' y = bueno o neutral ' vs. observando ' y = inadecuado ' cambio en un factor de e $X_1$$Y = \text{Good}$$Y = \text{Neutral OR Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$$X_1$$Y = \text{Good OR Neutral}$$Y = \text{Bad}$. "Tenga en cuenta que en el caso empírico, solo tenemos las probabilidades predichas, no las reales.$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$

Aquí hay algunas ilustraciones adicionales para el modelo 1 con categorías. Primero, la suposición de un modelo lineal para los logits acumulativos con probabilidades proporcionales. En segundo lugar, las probabilidades implícitas de observar en la mayoría de las categorías g . Las probabilidades siguen funciones logísticas con la misma forma. $k = 4$$g$

Para las probabilidades de categoría en sí, el modelo representado implica las siguientes funciones ordenadas:

PD: Que yo sepa, el modelo 2 se usa en SPSS, así como en funciones R MASS::polr()y ordinal::clm(). El modelo 3 se usa en funciones R rms::lrm()y VGAM::vglm(). Desafortunadamente, no sé acerca de SAS y Stata.