¿No debería la probabilidad conjunta de 2 eventos independientes ser igual a cero?

Si la probabilidad conjunta es la intersección de 2 eventos, ¿no debería la probabilidad conjunta de 2 eventos independientes ser cero ya que no se cruzan en absoluto? Estoy confundido.

probability joint-distribution

— gaston
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La probabilidad de que mire en un día determinado de televisión es 1/2. La probabilidad de que llueva en un día determinado es 1/2. Estos son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que vea televisión en un día lluvioso?

— user1936752

@ user1936752 Hablando estrictamente, sus eventos de ejemplo no son independientes para la mayoría de las personas (por ejemplo, podrían estar más dispuestos a pasar tiempo al aire libre cuando no llueve)

— Hagen von Eitzen

@HagenvonEitzen OK, buen punto. Cambia el día lluvioso para comer chocolate .

— Rui Barradas

@Gaston: No confunda "independiente" con "mutuamente excluyente". Los eventos independientes no están relacionados entre sí, mientras que los eventos mutuamente excluyentes están inherentemente relacionados. Por ejemplo, supongamos que lanzo dos monedas: si obtengo caras en la Moneda 1 no se ve afectado por el resultado de la Moneda 2, ¡pero está inherentemente conectado a si obtengo colas en la Moneda 1! =)

— jdmc

Este video aquí y este otro será útil para comprender estos conceptos.

— Learn_and_Share

Respuestas:

Hay una diferencia entre

eventos independientes: $\mathbb P(A \cap B) =\mathbb P(A)\,\mathbb P(B)$ , es decir, $\mathbb P(A \mid B)= \mathbb P(A)$ por lo que saber que sucedió no proporciona información sobre si sucedió lo otro
eventos mutuamente disjuntos: $\mathbb P(A \cap B) = 0$ , es decir, $\mathbb P(A \mid B)= 0$ por lo que saber que uno sucedió significa que el otro no sucedió

Pediste una foto. Esto podría ayudar:

— Enrique
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¿Hay alguna razón por la que escribiste "casi" en el segundo punto? ¿Es esa una de esas cosas "posibles con probabilidad cero"? Creo que, por definición, es imposible (como la probabilidad de cara y la probabilidad de cola), entonces ¿por qué escribir "casi seguro" en lugar de "seguro"? Supongo que esta es la interpretación probabilística.

— gerrit

@Barranka Lo entiendo, pero eso no se parece a lo que se dibuja en la imagen de la derecha. La probabilidad conjunta de que un número aleatorio dibujado uniformemente en [0, 1] sea menor que 0.4 y mayor que 0.6 no solo es cero, sino que también es completamente imposible. ¿No es eso lo que ilustra la banda ancha en la figura correcta? ¿O estoy interpretando mal la figura?

— gerrit

@ Barranka Podría lanzar la moneda tan rápido que se escapa de la atracción gravitacional de la Tierra. Me aventuraría P (CABEZAS) = 0.499 ..., P (COLAS) = 0.499 ..., 0 <P (TIERRA AL LADO) <0.000000000001, y 0 <P (VELOCIDAD DE ESCAPE) <0.0000000000001. Estrictamente hablando, si la probabilidad de un evento es cero, entonces no puede suceder.

— emory

No soy un experto, pero incluso después de su último comentario, estoy de acuerdo con @gerrit: Heads and Tails son disjuntos. Es posible obtener No caras y no colas , pero es imposible obtener caras y colas . Por lo tanto, saber que sucedieron las cabezas significa que las colas no podrían haber sucedido, no "casi" al respecto. Podría estar equivocado en mi terminología, pero si es así, explique pacientemente, ya que no soy el único que falta

— Chris H

@Braanka Su ejemplo de moneda es pobre, ya que presumiblemente aterrizar en un lado tiene una probabilidad distinta de cero, y si dice que tiene probabilidad cero, bueno, ahora está simplemente rogando la pregunta.

— Acumulación

Lo que entendí de su pregunta es que podría haber confundido eventos independientes con eventos disjuntos.

eventos disjuntos: dos eventos se denominan disjuntos o mutuamente excluyentes si ambos no pueden suceder. Por ejemplo, si tiramos un dado, los resultados 1 y 2 son disjuntos ya que no pueden ocurrir ambos. Por otro lado, los resultados 1 y "sacar un número impar" no son disjuntos, ya que ambos ocurren si el resultado de la tirada es 1. La intersección de tales eventos es siempre 0.

Eventos independientes: dos eventos son independientes si conocer el resultado de uno no proporciona información útil sobre el resultado del otro. Por ejemplo, cuando lanzamos dos dados, el resultado de cada uno es un evento independiente: conocer el resultado de un lanzamiento no ayuda a determinar el resultado del otro. Partamos de ese ejemplo: tiramos dos dados, uno rojo y otro azul. La probabilidad de obtener un 1 en el rojo viene dada por P (rojo = 1) = 1/6, y la probabilidad de obtener un 1 en el blanco está dada por P (blanco = 1) = 1/6. Es posible obtener su intersección (es decir, ambos obtienen 1) simplemente multiplicándolos, ya que son independientes. P (rojo = 1) x P (blanco = 1) = 1/6 x 1/6 = 1/36! = 0. En palabras simples, 1/6 de las veces el dado rojo es un 1, y 1/6 de esas veces el dado blanco es 1. Para ilustrar:

— Umair Rafique
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La confusión del OP radica en las nociones de eventos disjuntos y eventos independientes.

Una descripción simple e intuitiva de la independencia es:

A y B son independientes si saber que A sucedió no le da información sobre si B sucedió o no.

O en otras palabras,

A y B son independientes si saber que A sucedió no cambia la probabilidad de que B ocurra.

Si A y B son disjuntos, ¡saber que A sucedió es un cambio de juego! ¡Ahora estaría seguro de que B no sucedió! Y por eso no son independientes.

La única forma en que la independencia y la "desarticulación" en este ejemplo son las mismas es cuando B es el conjunto vacío (que tiene probabilidad 0). En este caso, A sucediendo no informa nada sobre B

No hay imágenes pero al menos algo de intuición.

— consiguió un
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