Denote la media ( ≠ promedio), m la mediana, σ la desviación estándar y M el modo. Finalmente, dejemos que X sea la muestra, una realización de una distribución unimodal continua F para la cual existen los dos primeros momentos.μ≠mσMXF
Es bien sabido que
|μ−m|≤σ(1)
Este es un ejercicio frecuente de libros de texto:
La primera igualdad deriva de la definición de la media, la tercera se produce porque la mediana es el minimizador único (entre todas lasc's) deE| X-c| y el cuarto de la desigualdad de Jensen (es decir, la definición de una función convexa). En realidad, esta desigualdad puede hacerse más estricta. De hecho, para cualquierF, que cumpla las condiciones anteriores, se puede demostrar [3] que
|μ−m|=≤≤=≤=|E(X−m)|E|X−m|E|X−μ|E(X−μ)2−−−−−−−√E(X−μ)2−−−−−−−−−√σ
cE|X−c|F
|m−μ|≤0.6−−−√σ(2)
Aunque, en general, no es cierto ( Abadir, 2005 ) que cualquier distribución unimodal debe satisfacer una de
, todavía se puede demostrar que la desigualdad
M≤m≤μ or M≥m≥μ
|μ−M|≤3–√σ(3)
se cumple para cualquier distribución integrable cuadrada unimodal (independientemente de la inclinación). Esto se prueba formalmente en Johnson y Rogers (1951) aunque la prueba depende de muchos lemas auxiliares que son difíciles de encajar aquí. Ve a ver el artículo original.
En [2] se da una condición suficiente para que una distribución satisfaga μ ≤ m ≤ M. Si F :Fμ≤m≤MF
F(m−x)+F(m+x)≥1 for all x(4)
entonces . Además, si μ ≠ m , entonces la desigualdad es estricta. Las distribuciones de Pearson Tipo I a XII son un ejemplo de familia de distribuciones que satisfacen ( 4 ) [4] (por ejemplo, Weibull es una distribución común para la cual ( 4 ) no se cumple, ver [5]).μ≤m≤Mμ≠m(4)(4)
Ahora suponiendo que cumple estrictamente y wlog que σ = 1 , tenemos que
3 ( m - μ ) ∈ ( 0 , 3 √(4)σ=1
3(m−μ)∈(0,30.6−−−√] and M−μ∈(m−μ,3–√]
y dado que el segundo de estos dos rangos no está vacío, ciertamente es posible encontrar distribuciones para las cuales la afirmación es verdadera (por ejemplo, cuando ) para algún rango de valores de los parámetros de la distribución, pero no es cierto para todas las distribuciones y ni siquiera para todas las distribuciones que satisfacen(4).0<m−μ<3√3<σ=1( 4 )
- [0]: El problema del momento para distribuciones unimodales. NL Johnson y CA Rogers. Los Anales de Estadística Matemática, vol. 22, núm. 3 (septiembre de 1951), págs. 433-439
- [1]: La desigualdad del modo medio-medio: contraejemplos Karim M. Abadir Econometric Theory, vol. 21, núm. 2 (abril de 2005), págs. 477-482
- [2]: WR van Zwet, media, mediana, modo II, estadista. Neerlandica, 33 (1979), págs. 1-5.
- [3]: La media, la mediana y el modo de las distribuciones unimodales: una caracterización. S. Basu y A. DasGupta (1997). Teoría Probab. Appl., 41 (2), 210–223.
- [4]: Algunas observaciones sobre la media, la mediana, la moda y la inclinación. Michikazu Sato. Revista Australiana de Estadística. Volumen 39, Número 2, páginas 219–224, junio de 1997
- [5]: PT von Hippel (2005). Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule. Revista de Educación Estadística Volumen 13, Número 2.