Este es un problema bastante sencillo. Aunque existe una conexión entre las distribuciones binomial negativa y de Poisson, en realidad creo que esto no es útil para su pregunta específica, ya que alienta a las personas a pensar en procesos binomiales negativos. Básicamente, tiene una serie de procesos de Poisson:
Yi(ti)|λi∼Poisson(λiti)
Donde es el proceso y t i es el tiempo que lo observa, y i denota los individuos. Y usted dice que estos procesos son "similares" al vincular las tasas mediante una distribución:Yitii
λi∼Gamma(α,β)
Al hacer la integración / mxixing sobre , tienes:λi
Yi(ti)|αβ∼NegBin(α,pi)wherepi=titi+β
Esto tiene un pmf de:
Pr(Yi(ti)=yi|αβ)=Γ(α+yi)Γ(α)yi!pyii(1−pi)α
Para obtener la distribución del tiempo de espera, notamos que:
= 1 - ( 1 - p i ) α = 1 - ( 1 +
Pr(Ti≤ti|αβ)=1−Pr(Ti>ti|αβ)=1−Pr(Yi(ti)=0|αβ)
=1−(1−pi)α=1−(1+tiβ)−α
Diferencie esto y tendrá el PDF:
pTi(ti|αβ)=αβ(1+tiβ)−(α+1)
Este es un miembro de las distribuciones generalizadas de Pareto, tipo II. Usaría esto como su distribución del tiempo de espera.
Para ver la conexión con la distribución de Poisson, tenga en cuenta que , de modo que si establecemos β = ααβ=E(λi|αβ) y luego tomamos el límiteα→∞obtenemos:β=αλα→∞
limα→∞αβ(1+tiβ)−(α+1)=limα→∞λ(1+λtiα)−(α+1)=λexp(−λti)
Esto significa que puedes interpretar como parámetro de sobredispersión.1α