¿Por qué una cadena de Markov finita, irreducible y aperiódica con una matriz doblemente estocástica P tiene una distribución limitante uniforme?

El teorema es "Si una matriz de transición para una cadena de Markov irreducible con un espacio de estado finito S es doblemente estocástica, su medida invariante (única) es uniforme sobre S."

Si una cadena de Markov tiene una matriz de transición doblemente estocástica, leí que sus probabilidades limitantes constituyen la distribución uniforme, pero no entiendo bien por qué.

He estado tratando de encontrar y encontrar una prueba comprensible para esto. Pero las pruebas que encuentro con todos los detalles de brillo no entiendo, como la propuesta 15.5 aquí (¿por qué funciona usar solo los vectores [1, ... 1]?) ¿Podría alguien señalarme (o escribir) más? prueba simple / detallada?

(Aunque no es parte de nada que entregaré en la escuela, es parte de un curso que estoy tomando, así que supongo que lo etiquetaré con la tarea en cualquier caso).

Supongamos que tenemos un $M+1$-cadena de Markov irreductible y aperiódica del estado, con estados $m_j$, $j=0,1,\ldots, M$, con una matriz de transición doblemente estocástica (es decir, $\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ para todos $j$) Entonces la distribución limitante es$\pi_j=\frac{1}{M+1}$.

Prueba

Primera nota que el $\pi_j$es la solución única para$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$ y $\sum_{i=0}^M\pi_i=1$.

Tratar $\pi_i=1$. Esto da$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ (because the matrix is doubly stochastic). Thus $\pi_i=1$ is a solution to the first set of equations, and to make it a solution to the second normalize by dividing by $M+1$.

By uniqueness, $\pi_j=\frac{1}{M+1}$.