Encuentra UMVUE de

Dejar que $X_1, X_2, . . . , X_n$ iid variables aleatorias que tienen pdf

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

donde $\theta >0$ . Dar el UMVUE de $\frac{1}{\theta}$ y calcula su varianza

He aprendido acerca de dos métodos para obtener UMVUE:

Límite inferior Cramer-Rao (CRLB)
Lehmann-Scheffe Thereom

Voy a intentar esto usando el primero de los dos. Debo admitir que no entiendo completamente lo que está sucediendo aquí, y estoy basando mi intento de solución en un problema de ejemplo. Tengo que $f_X(x\mid\theta)$ es una familia exponencial completa de un parámetro con

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , $c(\theta)=\theta$ , $w(\theta)=-(1+\theta)$ , $t(x)=\text{log}(1+x)$

Como $w'(\theta)=1$ no es cero en $\Theta$ , se aplica el resultado CRLB. Tenemos

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

entonces

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

y el CRLB para estimadores insesgados de $\tau(\theta)$ es

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

Dado que

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

entonces cualquier función lineal de $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ , o equivalentemente, cualquier función lineal de $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ , alcanzará el CRLB de su expectativa y, por lo tanto, será un UMVUE de su expectativa. Como $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ tenemos que el UMVUE de $\frac{1}{\theta}$ es $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

Para una parametrización natural podemos dejar que $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

Entonces

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

¿Es esta una solución válida? ¿Hay un enfoque más simple? ¿Este método solo funciona cuando $\mathsf E(t(x))$ es igual a lo que está tratando de estimar?

— Remy
fuente

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$

T / n

$T/n$

1 / θ

$1/\theta$

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

T

$T$

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$

T

$T$

Su razonamiento es mayormente correcto.

$(X_1,X_2,\ldots,X_n)$

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

Por lo tanto, hemos expresado la función de puntuación en la forma

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

, que es la condición de igualdad en la desigualdad Cramér-Rao.

No es difícil verificar que

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

De y podemos concluir que $(1)$ $(2)$

La estadística es un estimador imparcial de . $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $1/\theta$
$T$ satisface la condición de igualdad de la desigualdad Cramér-Rao.

Estos dos hechos juntos implican que es el UMVUE de . $T$ $1/\theta$

La segunda viñeta en realidad nos dice que la varianza de alcanza el límite inferior de Cramér-Rao para . $T$ $1/\theta$

De hecho, como ha demostrado,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

Esto implica que la función de información para toda la muestra es

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

Entonces, el límite inferior de Cramér-Rao para y, por lo tanto, la varianza del UMVUE es $1/\theta$

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

Aquí hemos explotado un corolario de la desigualdad de Cramér-Rao, que dice que para una familia de distribuciones parametrizadas por (suponiendo que se mantengan las condiciones de regularidad de la desigualdad CR), si una estadística es imparcial para para alguna función si cumple la condición de igualdad en la desigualdad CR, a saber, , entonces debe ser el UMVUE de . Entonces este argumento no funciona en todos los problemas. $f$ $\theta$ $T$ $g(\theta)$ $g$

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$

T

$T$

g (θ)

$g(\theta)$

Alternativamente, usando el teorema de Lehmann-Scheffe, podría decir que es el UMVUE de ya que es imparcial para y es una estadística completa suficiente para la familia de distribuciones. Que es competitiva suficiente queda claro a partir de la estructura de la densidad conjunta de la muestra en términos de una familia exponencial de un parámetro. Pero la variación de podría ser un poco difícil de encontrar directamente. $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ $1/\theta$ $1/\theta$ $T$ $T$

— ObstinadoAtom
fuente

También se podría usar la distribución de para encontrar su media, la varianza.

T

$T$

— StubbornAtom