Sea un espacio de probabilidad, y sea un vector aleatorio. Sea la distribución de , una medida de Borel en .
- La función característica de es la función
definida para (la variable aleatoria está delimitada en para todo ). Esta es la transformación de Fourier de .
- La función generadora de momento ( mgf ) de es la función
definida para todas las para el cual existe la integral anterior . Esta es la transformación de Laplace de .
Ya podemos ver que la función característica está definida en todas partes en , pero el mgf tiene un dominio que depende de , y este dominio podría ser solo (esto sucede, por ejemplo, para una variable aleatoria distribuida por Cauchy).
A pesar de esto, las funciones características y los mgf comparten muchas propiedades, por ejemplo:
- Si son independientes, entonces
para todas , y
para todas las para las que existen los mgf .
- Dos vectores aleatorios e tienen la misma distribución si y solo si para todo . El análogo de mgf de este resultado es que si para todas las en algún vecindario de , entonces e tienen la misma distribución.
- Las funciones características y los mgf de distribuciones comunes a menudo tienen formas similares. Por ejemplo, si ( -dimensional normal con media y matriz de covarianza ), entonces
y
- Cuando se cumplen algunos supuestos leves, tanto la función característica como el mgf pueden diferenciarse para calcular momentos.
- El teorema de continuidad de Lévy proporciona un criterio para determinar cuándo una secuencia de variables aleatorias converge en distribución a otra variable aleatoria utilizando la convergencia de las funciones características correspondientes. Hay un teorema correspondiente para mgf ( Curtiss 1942, Teorema 3 ).
Dado que las funciones características y los mgf a menudo se usan para el mismo propósito y el hecho de que una función característica siempre existe mientras que un mgf no siempre existe, me parece que a menudo se debería preferir trabajar con funciones características sobre los mgf.
Preguntas
- ¿Cuáles son algunos ejemplos en los que los mgf son más útiles que las funciones características?
- ¿Qué se puede hacer con un mgf que no se puede hacer con una función característica?