El producto no tiene que ser intercambiable. El siguiente contraejemplo mostrará qué puede salir mal y por qué.
Especificaremos las distribuciones conjuntas de y de y asumiremos que cada una de estas variables aleatorias bivariadas es independiente. Por lo tanto, será intercambiable siempre que estén distribuidos de manera idéntica, y de igual manera para Todas las variables serán variables de Bernoulli: por definición, sus probabilidades se concentrarán en el conjuntoP1(X1,Y1)P2(X2,Y2)XiYi.{0,1}.
Deje y paraP1(0,0)=P1(1,1)=1/2P2(x,y)=1/4x,y∈{0,1}.
Como todas las distribuciones marginales son Bernoulli(1/2),se cumple el supuesto marginal de intercambiabilidad. Pero ahora calcule esoPr(X1Y1=0)=1/2y muestra que los productos tienen diferentes distribuciones (y, por lo tanto, no pueden ser intercambiables).Pr(X2Y2=0)=3/4,
Esto muestra que la distribución conjunta es importante.
Sin embargo, las distribuciones conjuntas podrían diferir, pero los productos podrían ser intercambiables, por lo que la intercambiabilidad de las variables aleatorias bivariadas , aunque sea una condición suficiente para la intercambiabilidad de los productos no es una condición necesaria.(Xi,Yi)XiYi,
Un ejemplo de esto lo dan las variables ternarias con valores en Por ejemplo, considere las siguientes probabilidades:{−1,0,1}.
P1((−1,y))=1/6(y∈{−1,0,1});P1((1,−1))=P1((1,1))=1/4
y
P2((x,y))=P1((−x,y)).
Es sencillo comprobar que las distribuciones marginales de asignan probabilidades iguales de a las distribuciones marginales de tienen vectores de probabilidad y que el La distribución de es la misma que la de Sin cuenta que tienen diferentes distribuciones, porqueXi1/2±1,Yi(5/12,1/6,5/12),XiYiYi.(Xi,Yi)
P1((−1,0))=1/6≠0=P2((−1,0)).
Por lo tanto, son intercambiables, son intercambiables, son intercambiables, pero no son intercambiables.XiYiXiYi(Xi,Yi)