¿Cuál es el valor esperado del logaritmo de distribución gamma?

Si el valor esperado de es , ¿cuál es el valor esperado de ? ¿Se puede calcular analíticamente? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

La parametrización que estoy usando es la tasa de forma.

expected-value gamma-distribution

— Stefano Vespucci
fuente

Si , entonces según mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], donde PolyGamma denota la función digamma

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— wolfies

Debo agregar que no proporciona la forma pdf de su variable Gamma, y dado que informa que la media es (mientras que para mí sería , parece que está usando una notación diferente a la mía , donde your

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— wolfies

Cierto, lo siento. La parametrización que estoy usando es la tasa de forma. Trataré de encontrarlo para esta parametrización . ¿Podría sugerir la consulta para Mathematica / WolframAlpha?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Stefano Vespucci

Ver también Johnson, Lotz y Balakrishna (1994) distribuciones continuas univariadas Vol 1 2ª Ed. pp. 337-349.

— Björn

También vea Wikipedia: Distribución gamma #

— Esperanza

Respuestas:

Este (tal vez sorprendentemente) se puede hacer con operaciones elementales fáciles (empleando el truco favorito de Richard Feynman de diferenciar bajo el signo integral con respecto a un parámetro).

Suponemos que tiene una distribución y deseamos encontrar la expectativa de Primero, porque es un parámetro de escala, su efecto será cambiar el logaritmo por (Si usa como parámetro de velocidad , como en la pregunta, cambiará el logaritmo por ) Esto nos permite trabajar con el caso $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

Después de esta simplificación, el elemento de probabilidad de es $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

donde es la constante de normalización $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

Sustituyendo que implica obtiene el elemento de probabilidad de , $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

Los valores posibles de ahora se extienden sobre todos los números reales $Y$ $\mathbb{R}.$

Debido a que debe integrarse a la unidad, obtenemos (trivialmente) $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Observe que es una función diferenciable deUn cálculo fácil da $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

El siguiente paso explota la relación obtenida dividiendo ambos lados de esta identidad por exponiendo así el mismo objeto que necesitamos integrar para encontrar la expectativa; a saber, $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

La derivada logarítmica de la función gamma (también conocida como " poligamia "). La integral se calculó utilizando la identidad $(1).$

Reintroducir el factor muestra que el resultado general es $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

para una parametrización de escala (donde la función de densidad depende de ) o $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

para una parametrización de velocidad (donde la función de densidad depende de ). $x\beta$

— whuber
fuente

Con la función polygamma, ¿quiere decir de qué orden (por ejemplo, 0,1) es una digamma (como señaló @wolfies), trigamma?

— Stefano Vespucci

@Stefano Me refiero a la derivada logarítmica de gamma, como se indicó. Eso significa

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

La respuesta de @whuber es bastante agradable; Esencialmente, volveré a exponer su respuesta en una forma más general que se conecte (en mi opinión) mejor con la teoría estadística, y que aclare el poder de la técnica general.

Considere una familia de distribuciones que constituyen una familia exponencial , lo que significa que admiten una densidad con respecto a alguna medida dominante común (generalmente, Lebesgue o medida de conteo). Al diferenciar ambos lados de con respecto a , llegamos a la ecuación de puntaje donde es la función de puntuación $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ y hemos definido . En el caso de una familia exponencial, tenemos donde ; esto a veces se denomina función acumulativa , ya que evidentemente está muy relacionada con la función generadora de acumulante. Ahora se deduce de que .

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$

(†)

$(\dagger)$

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

Ahora mostramos que esto nos ayuda a calcular la expectativa requerida. Podemos escribir la densidad gamma con fijo como una familia exponencial Esta es una familia exponencial en sola con y . Ahora sigue inmediatamente calculando que $\beta$

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— chico
fuente

+1 Gracias por señalar esta buena generalización.

— whuber