¿Cuál es el significado de ?

¿Cuál es el significado de $\|a\|_p=\left(\sum _{i=1}^n \left|a_i(t)\right|{}^p\right){}^{\frac{1}{p}}$ ?

Esta fórmula aparece en la quinta página de Un resumen de flujo de datos mejorado: el boceto Count-Min y sus aplicaciones (que se puede encontrar aquí ). Estoy implementando el boceto Count-Min y puedo entender los conceptos básicos muy bien, pero algunos de los puntos más finos se explican en términos de esta ecuación y alguna otra terminología con la que no estoy familiarizado.

Es la norma . Ver por ejemplo los artículos de Wikipedia:$L^p$

• $L^p$ espacio
• Distancia de Minkowski

Si usa , encontrará que se resuelve con la norma euclidiana más familiar, es decir, la medida más familiar utilizada como longitud del vector . Otros valores de p brindan otras formas de medir la longitud como se describe en el artículo; vea las secciones sobre la norma euclidiana, la norma del taxi, etc.$p = 2$$a$

Este documento no parece utilizar las normas de ninguna manera esencial: cada uno de los resultados hace referencia explícita a la norma L 1 . El problema en sí mismo determina qué norma usar. En este caso, el interés se centra en la cardinalidad de los conjuntos múltiples. Un conjunto múltiple se representa como un vector de recuentos de sus elementos, por lo que su cardinalidad es la misma que su norma L 1 . A menudo, los resultados probados para una norma pueden mantenerse sin ningún cambio necesario en la prueba para un amplio rango de p (típicamente 1 ≤ p ≤ ∞ ). La oportunidad de una mayor generalidad sin costo llevará a muchos artículos como este a hablar sobre L $L^p$$L^1$$L^1$$p$$1 \le p \le \infty$$L^p$ normas

normas L p entran en juego en las discusiones sobre la dualidad en la teoría espacial de Hilbert y Banach. Loslibros de análisisavanzados, pero introductorios (¡no es una contradicción!)Generalmente cubren este material a fondo. Para una introducción a algunas de las relaciones entre estas normas, lea sobre laDesigualdaddelTitulary laDesigualdad de Minkowski.$L^p$

denota una función específica, llamadanorma, definida en un espacio vectorial. Mapea unelemento n- dimensional de un espacio vectorial en un número real no negativo. El | El | a | El | p denota una norma aún particular definida en el espacio vectorial. Deje que V sea ​​un espacio vectorial. Cualquier función p : V → R + , también denotada p ( v ) ≡ | El | v | El | tal que$||a||$$n$$||a||_p$$V$$p:V\to R_+$$p(v)\equiv ||v||$

1. es finito y convexo$p$
2. $p(x)=0 \implies x=0$
3. $\forall \alpha_{}\in R, \forall x\in V, p(\alpha_{}x)=|\alpha_{}|p(x)$

se llama norma en y ( V , p ) ≡ ( V , | | ⋅ | | se denomina espacio normado. Puede verificar que su función cumpla con todas estas propiedades. En su ejemplo, V también es un espacio de funciones, que es un i : T → T $V$$(V,p)\equiv (V,||\cdot||$$V$$a_i:T\to T'$. Esa es una generalización del espacio euclidiano (con la norma euclidiana) con la que puede estar familiarizado, que es solo un caso particular del espacio normado donde el conjunto subyacente son los números reales (n-dimensionales) y la norma es la llamada norma euclidiana. , un caso particular de la función que aparece en su pregunta.

Por ejemplo, el plano euclidiano es un espacio normado tal que , x = ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 , y define la norma en R 2 como p ( x ) = | El | x | El | 2 = | El | x | El | = $V=R^2$$x=(x_1,x_2)\in R^2$$R^2$ . Por lo tanto, es solo un plano y la norma da la "magnitud" del vector. Tenga en cuenta que es solo un caso especial de la norma que mencionó, de modo quen=2,p=2,ai(x)=xi, y no necesita el operador de valor absoluto porque es una suma de términos al cuadrado .$p(x)=||x||_2=||x||=\sqrt{(x_1+x_2)^2}=(\sum_{i=1}^2x_i^2)^{1/2}$$n=2, p=2, a_i(x)=x_i$

Esos temas están cubiertos en los libros de texto Análisis real o Álgebra lineal (de una manera más restringida) bajo la rúbrica de normas o espacios normados.