¿Hay alguna distribución distinta de Cauchy para la cual la media aritmética de una muestra sigue la misma distribución?

Si sigue una distribución de Cauchy, entonces $X$ también sigue exactamente la misma distribución que; vereste hilo. $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

¿Esta propiedad tiene un nombre?
¿Hay alguna otra distribución para la que esto sea cierto?

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Otra forma de hacer esta pregunta:

sea una variable aleatoria con densidad de probabilidad . $X$ $f(x)$

dejar , dondedenota el i-ésimo observación de. $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

en sí mismo puede ser considerada como una variable aleatoria, sin acondicionamiento de cualesquiera valores específicos de . $Y$ $X$

Si sigue una distribución de Cauchy, entonces la función de densidad de probabilidad de es $X$ $Y$ $f(x)$

¿Hay algún otro tipo de función de densidad de probabilidad (no trivial *) para que resulte en que tenga una función de densidad de probabilidad de ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* El único ejemplo trivial que se me ocurre es un delta de Dirac. es decir, no es una variable aleatoria.

— Chechy Levas
fuente

Su título tiene poco sentido, porque el "valor esperado de una muestra" es un número. ¿Te refieres a la media aritmética de la muestra? La pregunta también es vaga: ¿por "distribución" se refiere a una distribución específica o se refiere, como sugiere el término "Cauchy", a una familia de distribuciones? Esa no es una sutileza menor: la respuesta cambia completamente según lo que quieras decir. Edita tu publicación para aclararla.

— whuber

@whuber, agregué una segunda parte a la pregunta que, con suerte, reduce el rango de posibles interpretaciones.

— Chechy Levas

Gracias; eso aclara la mayor parte. Sin embargo, hay diferentes respuestas dependiendo de si soluciona

o si desea que este resultado se mantenga para todos

Si es lo último, la condición en el cf o cgf es severa y conduce a una solución lista. Si es lo primero, entonces potencialmente hay soluciones adicionales.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Estaba pensando en todas las

pero si alguien quiere proporcionar un análisis de una

fija también, sería bienvenido.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

Esto no es realmente una respuesta, pero al menos no parece ser fácil crear un ejemplo a partir de una distribución estable. Necesitaríamos producir un rv cuya función característica sea la misma que la de su promedio.

En general, para un sorteo de iid, el cf del promedio es

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
fuente

Entonces, ¿es justo decir que, según su análisis, Cauchy es la única solución para a = 1?

— Chechy Levas

Esa es mi impresión a partir de estos resultados, pero estoy bastante seguro de que hay personas más informadas por aquí con distribuciones estables.

— Christoph Hanck

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$