14

Supongamos que tengo participantes, cada uno de los cuales da una respuesta 20 veces, 10 en una condición y 10 en otra. Encajo un modelo lineal de efectos mixtos que compara en cada condición. Aquí hay un ejemplo reproducible que simula esta situación usando el paquete en : $N$ $Y$ $Y$ lme4R

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

El modelo mproduce dos efectos fijos (una intersección y pendiente para la condición) y tres efectos aleatorios (una intersección aleatoria por participante, una pendiente aleatoria por participante para la condición y una correlación de pendiente de intercepción).

Me gustaría comparar estadísticamente el tamaño de la varianza de interceptación aleatoria por participante entre los grupos definidos por condition(es decir, calcular el componente de varianza resaltado en rojo por separado dentro de las condiciones de control y experimentales, luego probar si la diferencia en el tamaño de los componentes es distinto de cero) ¿Cómo haría esto (preferiblemente en R)?

PRIMA

Digamos que el modelo es un poco más complicado: cada participante experimenta 10 estímulos 20 veces cada uno, 10 en una condición y 10 en otra. Por lo tanto, hay dos conjuntos de efectos aleatorios cruzados: efectos aleatorios para el participante y efectos aleatorios para el estímulo. Aquí hay un ejemplo reproducible:

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id) + (condition | stimulus_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, stimulus_id=1:10, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0, .5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

Me gustaría comparar estadísticamente la magnitud de la varianza de interceptación aleatoria por participante entre los grupos definidos por condition. ¿Cómo haría eso, y el proceso es diferente al de la situación descrita anteriormente?

EDITAR

Para ser un poco más específico sobre lo que estoy buscando, quiero saber:

Es la pregunta, "son las respuestas medias condicionales dentro de cada condición (es decir, valores de intercepción aleatoria en cada condición) sustancialmente diferentes entre sí, más allá de lo que esperaríamos debido al error de muestreo", una pregunta bien definida (es decir, es esta pregunta incluso teóricamente responsable)? ¿Si no, porque no?
Si la respuesta a la pregunta (1) es sí, ¿cómo la respondería? Preferiría una Rimplementación, pero no estoy atado al lme4paquete; por ejemplo, parece que el OpenMxpaquete tiene la capacidad de acomodar análisis multigrupo y multinivel ( https: //openmx.ssri.psu. edu / openmx-features ), y este parece ser el tipo de pregunta que debería responderse en un marco SEM.

r mixed-model lme4-nlme

— Patrick S. Forscher
fuente

1

@ MarkWhite, he actualizado la pregunta en respuesta a tus comentarios. Quiero decir que quiero comparar la desviación estándar de las intercepciones de los participantes cuando dan respuestas en la condición de control versus cuando dan respuestas en la condición experimental. Quiero hacer esto estadísticamente, es decir, probar si la diferencia en la desviación estándar de las intersecciones es diferente de 0.

— Patrick S. Forscher

2

Escribí una respuesta, pero me quedaré dormida porque no estoy seguro de que sea muy útil. La pregunta se reduce a que no creo que uno pueda hacer lo que está pidiendo. El efecto aleatorio de la intercepción es la variación en los medios de los participantes cuando están en la condición de control. Por lo tanto, no se puede observar la varianza de esos para observaciones en la condición experimental. Las intersecciones se definen a nivel de persona y la condición se encuentra a nivel de observación. Si está tratando de comparar las variaciones entre las condiciones, pensaría en modelos condicionalmente heteroscedasticos.

— Mark White el

2

Estoy trabajando en una revisión y reenvío para un documento donde tengo participantes que dan respuestas a conjuntos de estímulos. Cada participante está expuesto a múltiples condiciones y cada estímulo recibe una respuesta en múltiples condiciones; en otras palabras, mi estudio emula la configuración que describo en mi descripción "BONUS". En uno de mis gráficos, parece que la respuesta promedio de los participantes tiene una mayor variabilidad en una de las condiciones que las otras. Un revisor me pidió que probara si esto es cierto.

— Patrick S. Forscher el

2

Consulte aquí stats.stackexchange.com/questions/322213 para saber cómo configurar un modelo lme4 con diferentes parámetros de variación para cada nivel de una variable de agrupación. No estoy seguro de cómo hacer una prueba de hipótesis sobre si dos parámetros de varianza son iguales; personalmente, siempre preferiría pasar por encima de los sujetos y los estímulos para obtener un intervalo de confianza, o tal vez configurar algún tipo de prueba de hipótesis similar a la permutación (basada en remuestreo).

— ameba dice Reinstate Monica

3

Estoy de acuerdo con el comentario de @MarkWhite de que la pregunta "son las variaciones aleatorias de interceptación sustancialmente diferentes entre sí ..." es, en el mejor de los casos, poco clara y en el peor de los casos sin sentido, porque la intercepción necesariamente se refiere a valores Y en un grupo específico (el grupo asignó el valor de 0), por lo que no tiene sentido comparar "intercepciones" entre grupos estrictamente hablando. Creo que una mejor manera de reformular su pregunta, según tengo entendido, sería algo así como: "¿son diferentes las variaciones de las respuestas medias condicionales de los participantes en la condición A frente a la condición B?"

— Jake Westfall

6

Hay más de una forma de probar esta hipótesis. Por ejemplo, el procedimiento descrito por @amoeba debería funcionar. Pero me parece que la forma más simple y más conveniente de probarlo es usar una buena prueba de razón de probabilidad antigua que compara dos modelos anidados. La única parte potencialmente complicada de este enfoque es saber cómo configurar el par de modelos para que la eliminación de un solo parámetro pruebe de manera clara la hipótesis deseada de variaciones desiguales. A continuación explico cómo hacer eso.

Respuesta corta

Cambie a la codificación de contraste (suma a cero) para su variable independiente y luego haga una prueba de razón de probabilidad comparando su modelo completo con un modelo que obligue a que la correlación entre pendientes aleatorias e intercepciones aleatorias sea 0:

# switch to numeric (not factor) contrast codes
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# reduced model without correlation parameter
mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id), data=d)

# full model with correlation parameter
mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id), data=d)

# likelihood ratio test
anova(mod1, mod2)

Explicación visual / intuición

Para que esta respuesta tenga sentido, debe tener una comprensión intuitiva de lo que implican los diferentes valores del parámetro de correlación para los datos observados. Considere las líneas de regresión específicas del sujeto (que varían aleatoriamente). Básicamente, el parámetro de correlación controla si las líneas de regresión del participante "se despliegan a la derecha" (correlación positiva) o "se despliegan a la izquierda" (correlación negativa) en relación con el punto $X=0$ , donde X es su código independiente de contraste variable. Cualquiera de estos implica una variación desigual en las respuestas medias condicionales de los participantes. Esto se ilustra a continuación:

En esta gráfica, ignoramos las múltiples observaciones que tenemos para cada sujeto en cada condición y, en su lugar, graficamos las dos medias aleatorias de cada sujeto, con una línea que las conecta, que representa la pendiente aleatoria de ese sujeto. (Esto se compone de datos de 10 sujetos hipotéticos, no de los datos publicados en el OP).

En la columna de la izquierda, donde hay una fuerte correlación negativa de pendiente-intersección, las líneas de regresión se extienden hacia la izquierda en relación con el punto $X=0$ . Como puede ver claramente en la figura, esto conduce a una mayor variación en las medias aleatorias de los sujetos en la condición $X=-1$ que en la condición $X=1$ .

La columna de la derecha muestra la imagen inversa de este patrón. En este caso, existe una mayor varianza en las medias aleatorias de los sujetos en la condición $X=1$ que en la condición $X=-1$ .

La columna en el medio muestra lo que sucede cuando las pendientes aleatorias y las intersecciones aleatorias no están correlacionadas. Esto significa que las líneas de regresión se despliegan a la izquierda exactamente tanto como a la derecha, en relación con el punto $X=0$ . Esto implica que las varianzas de las medias de los sujetos en las dos condiciones son iguales.

Aquí es crucial que hayamos utilizado un esquema de codificación de contraste de suma a cero, no códigos ficticios (es decir, no establecer los grupos en $X=0$ vs. $X=1$ ). Es solo bajo el esquema de codificación de contraste que tenemos esta relación en la que las variaciones son iguales si y solo si la correlación pendiente-intersección es 0. La siguiente figura intenta construir esa intuición:

Lo que muestra esta figura es el mismo conjunto de datos exacto en ambas columnas, pero con la variable independiente codificada de dos maneras diferentes. En la columna de la izquierda usamos códigos de contraste: esta es exactamente la situación de la primera figura. En la columna de la derecha usamos códigos ficticios. Esto altera el significado de las intercepciones: ahora las intercepciones representan las respuestas predichas de los sujetos en el grupo de control. El panel inferior muestra la consecuencia de este cambio, a saber, que la correlación pendiente-intersección ya no está cerca de 0, a pesar de que los datos son los mismos en un sentido profundo y las variaciones condicionales son iguales en ambos casos. Si esto todavía no parece tener mucho sentido, estudiar esta respuesta anterior mía donde hablo más sobre este fenómeno puede ayudar.

Prueba

Sea $y_{ijk}$ la respuesta $j$ del sujeto $i$ bajo la condición $k$ . (Aquí solo tenemos dos condiciones, entonces $k$ es solo 1 o 2.) Entonces el modelo mixto puede escribirse

y_{yo j k} = α_{yo} + β_{yo} X_{k} + {mi}_{yo j k},

$y_{ijk} = \alpha_i + \beta_ix_k + e_{ijk},$ donde

α_{i}

$\alpha_i$ son los sujetos ' intercepta al azar y tiene varianza

σ_{α}^{2}

$\sigma^2_\alpha$ ,

β_{i}

$\beta_i$ son la pendiente aleatoria de los sujetos y tienen una varianza

σ_{β}^{2}

$\sigma^2_\beta$ ,

e_{i j k}

$e_{ijk}$ es el término de error de nivel de observación, y

cov (α_{i}, β_{i}) = σ_{α β}

$\text{cov}(\alpha_i, \beta_i)=\sigma_{\alpha\beta}$ .

Queremos mostrar que

var (α_{yo} + β_{yo} X_{1}) = var (α_{yo} + β_{yo} X_{2}) \Leftrightarrow σ_{α β} = 0.

$\text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) = \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta}=0.$

Comenzando con el lado izquierdo de esta implicación, tenemos

\begin{aligned} var (α_{yo} + β_{yo} X_{1}) & = var (α_{yo} + β_{yo} X_{2}) \\ σ_{α}^{2} + X_{1}^{2} σ_{β}^{2} + 2 X_{1} σ_{α β} & = σ_{α}^{2} + X_{2}^{2} σ_{β}^{2} + 2 X_{2} σ_{α β} \\ σ_{β}^{2} (X_{1}^{2} - X_{2}^{2}) + 2 σ_{α β} (X_{1} - X_{2}) & = 0. \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) &= \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \\ \sigma^2_\alpha + x^2_1\sigma^2_\beta + 2x_1\sigma_{\alpha\beta} &= \sigma^2_\alpha + x^2_2\sigma^2_\beta + 2x_2\sigma_{\alpha\beta} \\ \sigma^2_\beta(x_1^2 - x_2^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 - x_2) &= 0. \end{aligned}$

Los códigos de contraste de suma a cero implican que $x_1 + x_2 = 0$ y $x_1^2 = x_2^2 = x^2$ . Entonces podemos reducir aún más la última línea de lo anterior a

\begin{aligned} σ_{β}^{2} (x^{2} - x^{2}) + 2 σ_{α β} (x_{1} + x_{1}) & = 0 \\ σ_{α β} & = 0, \end{aligned}

$\begin{aligned} \sigma^2_\beta(x^2 - x^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 + x_1) &= 0 \\ \sigma_{\alpha\beta} &= 0, \end{aligned}$ que es lo que queríamos probar. (Para establecer la otra dirección de la implicación, podemos seguir estos mismos pasos a la inversa).

Para reiterar, esto muestra que si la variable independiente está codificada por contraste (suma a cero) , entonces las variaciones de las medias aleatorias de los sujetos en cada condición son iguales si y solo si la correlación entre pendientes aleatorias e interceptaciones aleatorias es 0. La clave El punto clave de todo esto es que probar la hipótesis nula de que $\sigma_{\alpha\beta} = 0$ probará la hipótesis nula de varianzas iguales descritas por el OP.

Esto NO funciona si la variable independiente es, por ejemplo, un código ficticio. Específicamente, si conectamos los valores $x_1=0$ y $x_2=1$ en las ecuaciones anteriores, encontramos que

var (α_{i}) = var (α_{i} + β_{i}) \Leftrightarrow σ_{α β} = - \frac{σ_{β}^{2}}{2} .

$\text{var}(\alpha_i) = \text{var}(\alpha_i + \beta_i) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta} = -\frac{\sigma^2_\beta}{2}.$

— Jake Westfall
fuente

Esta ya es una respuesta excelente, ¡gracias! Creo que esto se acerca más a responder mi pregunta, así que lo acepto y le doy la recompensa (está a punto de expirar), pero me encantaría ver una justificación algebraica si tiene el tiempo y la energía para ello.

— Patrick S. Forscher

1

@ PatrickS.Forscher Acabo de agregar una prueba

— Jake Westfall

1

@JakeWestfall En mi ejemplo de juguete, los sujetos tienen respuestas invertidas en las dos condiciones. Si un sujeto tiene

respuesta

en condición A y

en condición B, ¿cuál sería el valor BLUP de intercepción aleatoria para este sujeto cuando usamos el modelo? Creo que solo puede ser 0. Si todos los sujetos tienen BLUP igual a cero, entonces la varianza de la intercepción aleatoria también es cero. Por lo tanto, este modelo no puede adaptarse a este ejemplo de juguete. En contraste, el modelo definido anteriormente vía tendrá dos BLUP para cada sujeto, y pueden ser fácilmente

y

. ¿Me estoy perdiendo de algo?

a

$a$

- a

$-a$ (1 | subject)dummy

a

$a$

- a

$-a$

— ameba dice Reinstate Monica

1

Ahora veo que tienes razón @amoeba, gracias por explicarlo. Editaré mi respuesta en consecuencia.

— Jake Westfall

1

@amoeba Tienes razón en que es posible que los BLUP salgan correlacionados incluso sin un parámetro de correlación en el modelo. Pero creo que, para fines de prueba, el procedimiento aún funciona según lo previsto (por ejemplo, tiene la tasa de error nominal de tipo 1) porque solo el modelo con el parámetro de correlación puede incorporar eso en la función de probabilidad y, por lo tanto, "recibir crédito" por eso . Es decir, incluso si los BLUP salen correlacionados en el modelo más simple, todavía es como si los efectos no estuvieran correlacionados en lo que respecta a la probabilidad total, por lo que la prueba LR funcionará. Creo :)

— Jake Westfall

6

Puede probar la importancia de los parámetros del modelo con la ayuda de intervalos de confianza estimados para los que el paquete lme4 tiene la confint.merModfunción.

bootstrapping (ver por ejemplo Intervalo de confianza de bootstrap )

> confint(m, method="boot", nsim=500, oldNames= FALSE)
Computing bootstrap confidence intervals ...
                                                           2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.32764600 0.64763277
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.00000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.02249989 0.46871800
sigma                                                 0.97933979 1.08314696
(Intercept)                                          -0.29669088 0.06169473
conditionexperimental                                 0.26539992 0.60940435

perfil de probabilidad (ver por ejemplo ¿Cuál es la relación entre la probabilidad de perfil y los intervalos de confianza? )

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                                          2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.3490878 0.66714551
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.0000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.0000000 0.49076950
sigma                                                 0.9759407 1.08217870
(Intercept)                                          -0.2999380 0.07194055
conditionexperimental                                 0.2707319 0.60727448

También hay un método, 'Wald'pero esto se aplica solo a efectos fijos.
También existe algún tipo de expresión anova (razón de probabilidad) en el paquete lmerTestque se nombra ranova. Pero parece que esto no tiene sentido. La distribución de las diferencias en logLikelihood, cuando la hipótesis nula (varianza cero para el efecto aleatorio) es verdadera, no está distribuida por chi-cuadrado (posiblemente cuando el número de participantes y ensayos es alto, la prueba de razón de probabilidad podría tener sentido).

Varianza en grupos específicos

Para obtener resultados de varianza en grupos específicos, puede volver a parametrizar

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out) 
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "

Donde agregamos dos columnas al marco de datos ^{(esto solo es necesario si desea evaluar 'control' y 'experimental' no correlacionados, la función (0 + condition || participant_id)no conduciría a la evaluación de los diferentes factores en condición como no correlacionados)}

#adding extra columns for control and experimental
d <- cbind(d,as.numeric(d$condition=='control'))
d <- cbind(d,1-as.numeric(d$condition=='control'))
names(d)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

Ahora lmerdará variación para los diferentes grupos.

> m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
> m
Linear mixed model fit by REML ['lmerModLmerTest']
Formula: paste("sim_1 ", fml1)
   Data: d
REML criterion at convergence: 2408.186
Random effects:
 Groups           Name         Std.Dev.
 participant_id   control      0.4963  
 participant_id.1 experimental 0.4554  
 Residual                      1.0268  
Number of obs: 800, groups:  participant_id, 40
Fixed Effects:
          (Intercept)  conditionexperimental  
               -0.114                  0.439

Y puede aplicar los métodos de perfil a estos. Por ejemplo, ahora confint da intervalos de confianza para el control y la varianza ejercimental.

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                    2.5 %     97.5 %
sd_control|participant_id       0.3490873 0.66714568
sd_experimental|participant_id  0.3106425 0.61975534
sigma                           0.9759407 1.08217872
(Intercept)                    -0.2999382 0.07194076
conditionexperimental           0.1865125 0.69149396

Sencillez

Podría usar la función de probabilidad para obtener comparaciones más avanzadas, pero hay muchas maneras de hacer aproximaciones a lo largo del camino (por ejemplo, podría hacer una prueba conservadora anova / lrt, pero ¿es eso lo que quiere?).

En este punto, me pregunto cuál es el punto de esta comparación (no tan común) entre las variaciones. Me pregunto si comienza a volverse demasiado sofisticado. ¿Por qué la diferencia entre las variaciones en lugar de la relación entre las variaciones (que se relaciona con la distribución F clásica)? ¿Por qué no solo informar intervalos de confianza? Necesitamos dar un paso atrás y aclarar los datos y la historia que se supone que debe contar, antes de entrar en vías avanzadas que pueden ser superfluas y perder el contacto con el asunto estadístico y las consideraciones estadísticas que en realidad son el tema principal.

Me pregunto si uno debería hacer mucho más que simplemente declarar los intervalos de confianza (que en realidad pueden decir mucho más que una prueba de hipótesis. Una prueba de hipótesis da un sí, no una respuesta, pero no hay información sobre la propagación real de la población. Con suficientes datos puede hacer una pequeña diferencia para ser reportado como una diferencia significativa). Para profundizar en el asunto (para cualquier propósito), se requiere, creo, una pregunta de investigación más específica (definida de manera más estricta) para guiar la maquinaria matemática para hacer las simplificaciones adecuadas (incluso cuando un cálculo exacto sea factible o cuando se puede aproximar mediante simulaciones / bootstrapping, incluso en algunos casos aún requiere una interpretación adecuada). Compare con la prueba exacta de Fisher para resolver una pregunta (particular) (sobre tablas de contingencia) exactamente,

Ejemplo simple

Para proporcionar un ejemplo de la simplicidad que es posible, muestro a continuación una comparación (mediante simulaciones) con una evaluación simple de la diferencia entre las dos variaciones grupales basada en una prueba F realizada al comparar las variaciones en las respuestas medias individuales y al comparar El modelo mixto derivó variaciones.

$j$

{\hat{Y}}_{yo, j} \sim norte (μ_{j}, σ_{j}^{2} + \frac{σ_{ϵ}^{2}}{10})

$\hat{Y}_{i,j} \sim N(\mu_j, \sigma_j^2 + \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{10})$

$\sigma_\epsilon$ $\sigma_{j}$ $j = \lbrace 1,2 \rbrace$

Puede ver esto en la simulación del gráfico a continuación, donde, aparte de la puntuación F basada en la muestra, se calcula una puntuación F basada en las variaciones predichas (o sumas de error al cuadrado) del modelo.

^{$\sigma_{j=1} = \sigma_{j=2} = 0.5$ $\sigma_\epsilon=1$}

Puedes ver que hay alguna diferencia. Esta diferencia puede deberse al hecho de que el modelo lineal de efectos mixtos está obteniendo las sumas de error al cuadrado (para el efecto aleatorio) de una manera diferente. Y estos términos de error al cuadrado ya no se expresan (ya) como una distribución simple de Chi-cuadrado, pero aún están estrechamente relacionados y pueden ser aproximados.

$\sigma_{j=1} \neq \sigma_{j=2}$ $\hat{Y}_{i,j}$ $\sigma_j$ $\sigma_\epsilon$

^{$\sigma_{j=1} = 0.5$ $\sigma_{j=2} = 0.25$ $\sigma_\epsilon=1$}

Entonces, el modelo basado en los medios es muy exacto. Pero es menos poderoso. Esto muestra que la estrategia correcta depende de lo que quiere / necesita.

^{En el ejemplo anterior, cuando establece los límites de la cola derecha en 2.1 y 3.1, obtiene aproximadamente el 1% de la población en el caso de varianza igual (resp 103 y 104 de los 10 000 casos) pero en el caso de varianza desigual, estos límites difieren mucho (dando 5334 y 6716 de los casos)}

código:

set.seed(23432)

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out)
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"

n <- 10000

theta_m <- matrix(rep(0,n*2),n)
theta_f <- matrix(rep(0,n*2),n)

# initial data frame later changed into d by adding a sixth sim_1 column
ds <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
ds <- rbind(cbind(ds, condition="control"), cbind(ds, condition="experimental"))
  #adding extra columns for control and experimental
  ds <- cbind(ds,as.numeric(ds$condition=='control'))
  ds <- cbind(ds,1-as.numeric(ds$condition=='control'))
  names(ds)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

# defining variances for the population of individual means
stdevs <- c(0.5,0.5) # c(control,experimental)

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                    max = n, style=3)
for (i in 1:n) {

  indv_means <- c(rep(0,40)+rnorm(40,0,stdevs[1]),rep(0.5,40)+rnorm(40,0,stdevs[2]))
  fill <- indv_means[d[,1]+d[,5]*40]+rnorm(80*10,0,sqrt(1)) #using a different way to make the data because the simulate is not creating independent data in the two groups 
  #fill <- suppressMessages(simulate(formula(fml), 
  #                     newparams=list(beta=c(0, .5), 
  #                                    theta=c(.5, 0, 0), 
  #                                    sigma=1), 
  #                     family=gaussian, 
  #                     newdata=ds))
  d <- cbind(ds, fill)
  names(d)[6] <- c("sim_1")


  m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
  m
  theta_m[i,] <- m@theta^2

  imeans <- aggregate(d[, 6], list(d[,c(1)],d[,c(3)]), mean)
  theta_f[i,1] <- var(imeans[c(1:40),3])
  theta_f[i,2] <- var(imeans[c(41:80),3])

  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

p1 <- hist(theta_f[,1]/theta_f[,2], breaks = seq(0,6,0.06))       
fr <- theta_m[,1]/theta_m[,2]
fr <- fr[which(fr<30)]
p2 <- hist(fr, breaks = seq(0,30,0.06))



plot(-100,-100, xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), 
     xlab="F-score", ylab = "counts [n out of 10 000]")
plot( p1, col=rgb(0,0,1,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # means based F-score
plot( p2, col=rgb(1,0,0,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # model based F-score
fr <- seq(0, 4, 0.01)
lines(fr,df(fr,39,39)*n*0.06,col=1)
legend(2, 800, c("means based F-score","mixed regression based F-score"), 
       fill=c(rgb(0,0,1,1/4),rgb(1,0,0,1/4)),box.col =NA, bg = NA)
legend(2, 760, c("F(39,39) distribution"), 
       lty=c(1),box.col = NA,bg = NA)
title(expression(paste(sigma[1]==0.5, " , ", sigma[2]==0.5, " and ", sigma[epsilon]==1)))

— Sexto empírico
fuente

Eso es útil, pero no parece abordar la pregunta sobre cómo comparar las variaciones en dos condiciones.

— ameba dice Reinstate Monica

@amoeba Descubrí que esta respuesta da el núcleo del problema (sobre probar los componentes de varianza aleatoria). Lo que el OP quiere con precisión es difícil de leer en todo el texto. ¿A qué se refiere "las variaciones de intercepción aleatoria"? (el plural en relación con la intercepción me confunde) Un posible caso podría ser utilizar el modelo, sim_1 ~ condition + (0 + condition | participant_id)"en cuyo caso se obtiene una parametrización en dos parámetros (uno para cada grupo) en lugar de dos parámetros, uno para la intercepción y otro para el efecto (que deben combinarse para los grupos).

— Sextus Empiricus

Cada sujeto tiene una respuesta media en la condición A y una respuesta media en la condición B. La pregunta es si la varianza entre los sujetos en A es diferente de la varianza entre los sujetos en B.

— ameba dice Reinstate Monica el

Esto no completa la tarea planteada en el título "Comparar componente de varianza aleatoria entre niveles de una variable de agrupación". Noté que había un error tipográfico confuso en el cuerpo de la pregunta, que he solucionado. También intenté aclarar más la redacción de la pregunta.

— Patrick S. Forscher

Es posible responder la pregunta usando car::linearHypothesisTest( math.furman.edu/~dcs/courses/math47/R/library/car/html/… ), que permite al usuario probar hipótesis arbitrarias con un modelo ajustado. Sin embargo, tendría que usar el método de @ ameeba para obtener ambas intersecciones aleatorias en el mismo modelo ajustado para que puedan compararse con esta función. También estoy un poco inseguro en cuanto a la validez del método.

— Patrick S. Forscher

5

Una forma relativamente directa podría ser utilizar pruebas de razón de probabilidad anovasegún se describe en las lme4preguntas frecuentes .

Comenzamos con un modelo completo en el que las variaciones no están restringidas (es decir, se permiten dos variaciones diferentes) y luego ajustamos un modelo restringido en el que se supone que las dos variaciones son iguales. Simplemente los comparamos con anova()(tenga en cuenta que configuré REML = FALSEaunque REML = TRUEcon anova(..., refit = FALSE)es completamente factible ).

m_full <- lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full)$varcor
 # Groups         Name                  Std.Dev. Corr  
 # participant_id (Intercept)           0.48741        
 #                conditionexperimental 0.26468  -0.419
 # Residual                             1.02677     

m_red <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

anova(m_full, m_red)
# Data: d
# Models:
# m_red: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id)
# m_full: sim_1 ~ condition + (condition | participant_id)
#        Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# m_red   4 2396.6 2415.3 -1194.3   2388.6                         
# m_full  6 2398.7 2426.8 -1193.3   2386.7 1.9037      2      0.386

Sin embargo, esta prueba es probablemente conservadora . Por ejemplo, las preguntas frecuentes dicen:

Tenga en cuenta que las pruebas de hipótesis nula basadas en LRT son conservadoras cuando el valor nulo (como σ2 = 0) está en el límite del espacio factible; en el caso más simple (variación de efecto aleatorio simple), el valor p es aproximadamente el doble de lo que debería ser (Pinheiro y Bates 2000).

Hay varias alternativas:

Cree una distribución de prueba adecuada, que generalmente consiste en una mezcla de $\chi^2$ distribuciones Ver, por ejemplo,
Self, SG y Liang, K.-Y. (1987) Propiedades asintóticas de estimadores de máxima verosimilitud y pruebas de razón de verosimilitud en condiciones no estándar. Revista de la Asociación Americana de Estadística, 82 (398), 605. https://doi.org/10.2307/2289471 Sin embargo, esto es bastante complicado.
Simule la distribución correcta usando RLRsim(como también se describe en las preguntas frecuentes).

Demostraré la segunda opción a continuación:

library("RLRsim")
## reparametrize model so we can get one parameter that we want to be zero:
afex::set_sum_contrasts() ## warning, changes contrasts globally
d <- cbind(d, difference = model.matrix(~condition, d)[,"condition1"])

m_full2 <- lmer(sim_1 ~ condition + (difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
all.equal(deviance(m_full), deviance(m_full2))  ## both full models are identical

## however, we need the full model without correlation!
m_full2b <- lmer(sim_1 ~ condition + (1| participant_id) + 
                   (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full2b)$varcor
 # Groups           Name        Std.Dev.
 # participant_id   (Intercept) 0.44837 
 # participant_id.1 difference  0.13234 
 # Residual                     1.02677 

## model that only has random effect to be tested
m_red <- update(m_full2b,  . ~ . - (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name       Std.Dev.
 # participant_id difference 0.083262
 # Residual                  1.125116

## Null model 
m_null <- update(m_full2b,  . ~ . - (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_null)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

exactRLRT(m_red, m_full2b, m_null)
# Using restricted likelihood evaluated at ML estimators.
# Refit with method="REML" for exact results.
# 
#   simulated finite sample distribution of RLRT.
#   
#   (p-value based on 10000 simulated values)
# 
# data:  
# RLRT = 1.9698, p-value = 0.0719

Como podemos ver, el resultado sugiere que con REML = TRUEnosotros habríamos obtenido resultados exactos. Pero esto se deja como un ejercicio para el lector.

Con respecto a la bonificación, no estoy seguro si RLRsimpermite la prueba simultánea de múltiples componentes, pero si es así, esto se puede hacer de la misma manera.

Respuesta al comentario:

Entonces, es cierto que, en general, la pendiente aleatoria $\theta_X$ permite la intercepción aleatoria $\theta_0$ para variar a través de los niveles de $X$ ?

No estoy seguro de que esta pregunta pueda recibir una respuesta razonable.

Una intercepción aleatoria permite una diferencia idiosincrásica en el nivel general para cada nivel del factor de agrupación. Por ejemplo, si la variable dependiente es el tiempo de respuesta, algunos participantes son más rápidos y otros más lentos.
Una pendiente aleatoria permite a cada nivel del factor de agrupación un efecto idiosincrásico del factor para el cual se estiman las pendientes aleatorias. Por ejemplo, si el factor es la congruencia, algunos participantes pueden tener un efecto de congruencia más alto que otros.

Entonces, ¿las pendientes aleatorias afectan la intersección aleatoria? En cierto sentido, esto podría tener sentido, ya que permiten que cada nivel del factor de agrupación tenga un efecto completamente idiosincrásico para cada condición. Al final, estimamos dos parámetros idiosincrásicos para dos condiciones. Sin embargo, creo que la distinción entre el nivel general capturado por la intersección y el efecto específico de la condición capturado por la pendiente aleatoria es importante y, a continuación, la pendiente aleatoria no puede afectar realmente la intersección aleatoria. Sin embargo, todavía permite que cada nivel del factor de agrupación sea idiosincrásico por separado para cada nivel de la condición.

Sin embargo, mi prueba sigue haciendo lo que quiere la pregunta original. Comprueba si la diferencia en las variaciones entre las dos condiciones es cero. Si es cero, entonces las variaciones en ambas condiciones son iguales. En otras palabras, solo si no hay necesidad de una pendiente aleatoria, la varianza en ambas condiciones es idéntica. Espero que tenga sentido.

— Henrik
fuente

1

Utiliza contrastes de tratamiento ( contr.treatment) para los cuales la condición de control es la referencia (es decir, para la cual se calcula la intercepción aleatoria). La parametrización que propongo uso contrastes de suma (es decir, contr.sum) y la intersección es la gran media. Siento que tiene más sentido probar si la diferencia es nula cuando la intersección es la gran media en lugar de la condición de control (pero escribirla sugiere que podría ser relativamente intrascendente). Es posible que desee leer las páginas 24 a 26 de: singmann.org/download/publications/…

— Henrik

1

¡Gracias! Sin embargo, mis preguntas son ligeramente diferentes: (1) Su respuesta parece implicar que mi pregunta se reduce a "es la pendiente aleatoria para una condición diferente de 0". ¿Es esto cierto? (2) Si la respuesta a (1) es "sí", esto sugiere otra interpretación de la pendiente aleatoria para condition: permite que la intersección aleatoria varíe entre niveles de condition. ¿Es esto cierto?

— Patrick S. Forscher

2

Mi 2 ¢: el contraejemplo de @amoeba al procedimiento propuesto por Henrik es correcto. Henrik está casi correcto, pero compara el par de modelos equivocado. La comparación de los modelos que la pregunta de Patrick de respuesta es la comparación entre los modelos Henrik llama m_fullvs m_full2b. Es decir: las variaciones de las respuestas medias condicionales de los participantes en A vs. B son desiguales si la correlación aleatoria de la pendiente de intercepción es distinta de cero, lo que es importante, bajo la parametrización de codificación de contraste de suma a cero . No es necesario probar la variación aleatoria de la pendiente. Tratando de pensar cómo explicar esto sucintamente ...

— Jake Westfall

2

Esta no es realmente una explicación adecuada, pero estudiar mi respuesta aquí puede arrojar algo de luz sobre el asunto. Básicamente, el parámetro de correlación controla si las líneas de regresión de los participantes "se despliegan hacia la derecha" (corr. Positivo) o "se despliegan hacia la izquierda" (corr. Negativo). Cualquiera de estos implica una variación desigual en las respuestas medias condicionales de los participantes. Suma a cero de codificación asegura entonces que estamos buscando correlación en el punto correcto de X

— Jake Westfall

2

Consideraré publicar una respuesta con imágenes si puedo encontrar el tiempo ...

— Jake Westfall

5

Su modelo

m = lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d)

ya permite que la varianza entre sujetos en la condición de control difiera de la varianza entre sujetos en la condición experimental. Esto puede hacerse más explícito mediante una re-parametrización equivalente:

m = lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=d)

La matriz de covarianza aleatoria ahora tiene una interpretación más simple:

Random effects:
 Groups         Name                  Variance Std.Dev. Corr
 participant_id conditioncontrol      0.2464   0.4963       
                conditionexperimental 0.2074   0.4554   0.83

Aquí las dos variaciones son precisamente las dos variaciones que le interesan: la variación [entre sujetos] de las respuestas medias condicionales en la condición de control y lo mismo en la condición experimental. En su conjunto de datos simulado, son 0.25 y 0.21. La diferencia viene dada por

delta = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]

y es igual a 0.039. Desea probar si es significativamente diferente de cero.

EDITAR: me di cuenta de que la prueba de permutación que describo a continuación es incorrecta; no funcionará según lo previsto si los medios en control / condición experimental no son los mismos (porque entonces las observaciones no son intercambiables bajo nulo). Puede ser una mejor idea arrancar temas (o temas / elementos en el caso de Bonus) y obtener el intervalo de confianza para delta.

Intentaré arreglar el siguiente código para hacerlo.

Sugerencia original basada en permutación (incorrecta)

A menudo encuentro que uno puede ahorrarse muchos problemas haciendo una prueba de permutación. De hecho, en este caso es muy fácil de configurar. Permutamos las condiciones de control / experimentales para cada sujeto por separado; entonces cualquier diferencia en las variaciones debe ser eliminada. Repetir esto muchas veces dará como resultado una distribución nula para las diferencias.

(No programo en R; todos pueden reescribir lo siguiente en un mejor estilo R).

set.seed(42)
nrep = 100
v = matrix(nrow=nrep, ncol=1)
for (i in 1:nrep)
{
   dp = d
   for (s in unique(d$participant_id)){             
     if (rbinom(1,1,.5)==1){
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='control',]$condition = 'experimental'
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='experimental',]$condition = 'control'
     }
   }
  m <- lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=dp)
  v[i,] = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]
}
pvalue = sum(abs(v) >= abs(delta)) / nrep

Ejecutar esto produce el valor p $p=0.7$ . Uno puede aumentarnrep a 1000 más o menos.

Se puede aplicar exactamente la misma lógica en su caso de Bonus.

— ameba dice reinstalar Monica
fuente

Súper interesante, gracias! Tendré que pensar más sobre por qué funciona su reparameterización, ya que esta parece ser la idea clave de esta respuesta.

— Patrick S. Forscher

Curiosamente, los valores de intercepción por grupo en su respuesta parecen diferir de los de la respuesta de @MartijnWeterings.

— Patrick S. Forscher

@ PatrickS.Forscher Eso es porque él, creo, genera un conjunto de datos diferente. Puedo usar la sim_1 ~ 0 + condition + (0 + dummy(condition, "control") + dummy(condition, "experimental") | participant_id)formulación y obtener el mismo resultado que en mi respuesta.

— ameba dice Reinstate Monica

1

@ PatrickS.Forscher No, utilicé los datos generados por su código (con su semilla). Establecí la semilla a 42 solo cuando realizo la prueba de permutación. Es Martijn quien cambió el conjunto de datos, no yo.

— ameba dice Reinstate Monica

1

Esta propuesta es definitivamente sólida. Como creo que ya has experimentado, configurar pruebas de permutación para datos multinivel no es del todo sencillo. Un enfoque similar que sería un poco más fácil de implementar sería el bootstrapping paramétrico, que es bastante simple de hacer con lme4 usando el método simulate () de los objetos lmer ajustados, es decir, llame a simulate (m) muchas veces para construir el bootstrap distribución. Solo una idea para jugar.

— Jake Westfall

0

Mirando este problema desde una perspectiva ligeramente diferente y comenzando desde la forma "general" del modelo lineal mixto, tenemos

y_{yo j k} = μ + α_{j} + {re}_{yo j} + {mi}_{yo j k}, {re}_{yo} \sim norte (0 0, Σ), {mi}_{yo j k} \sim norte (0 0, σ^{2})

$y_{ijk} = \mu + \alpha_j + d_{ij} + e_{ijk}, \quad d_{i} \sim N(0, \Sigma), \quad e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$ dónde

α_{j}

$\alpha_j$ es el efecto fijo de la

j

$j$ condición y

d_{i} = (d_{i 1}, \dots, d_{i J})^{⊤}

$d_i = (d_{i1}, \ldots, d_{iJ})^\top$ es un vector aleatorio (creo que algunos lo llaman efecto aleatorio con valor vectorial) para el

i

$i$ 'th participante en el

j

$j$ Condición.
En tu ejemplo tenemos dos condiciones

y_{i 1 k}

$y_{i1k}$ y

y_{i 2 k}

$y_{i2k}$ que denotaré como

A

$A$ y

B

$B$ en lo que sigue. Entonces, la matriz de covarianza del vector aleatorio bidimensional

d_{i}

$d_{i}$ es de la forma general

Σ = [\begin{matrix} σ_{UN}^{2} & σ_{UN si} \\ σ_{UN si} & σ_{si}^{2} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}$

con no negativo $\sigma^2_A$ y $\sigma^2_{B}$ .

Primero veamos cómo la versión re-parametrizada de $\Sigma$ se ve cuando usamos contrastes de suma.

La varianza de la intersección, que corresponde a la gran media, es

σ_{1}^{2} : = Var (gran media) = Var (\frac{1}{2} \cdot (UN + si)) = \frac{1}{4 4} \cdot (Var (UN) + Var (si) + 2 \cdot Cov (UN, si)) .

$\sigma^2_{1} := \text{Var(grand mean)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A+B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$

La varianza del contraste es

σ_{2}^{2} : = Var (contraste) = Var (\frac{1}{2} \cdot (UN - si)) = \frac{1}{4 4} \cdot (Var (UN) + Var (si) - 2 \cdot Cov (UN, si)) .

$\sigma^2_{2} := \text{Var(contrast)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A-B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) - 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$

Y la covarianza entre la intersección y el contraste es

σ_{12} : = Cov (grand mean, contrast) = Cov (\frac{1}{2} \cdot (A + B), \frac{1}{2} \cdot (A - B)) = \frac{1}{4} \cdot (Var (A) - Var (B)) .

$\sigma_{12} := \text{Cov}(\text{grand mean, contrast}) = \text{Cov}(\frac{1}{2} \cdot (A+B), \frac{1}{2} \cdot (A-B)) \\ = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) - \text{Var}(B)).$

Thus, the re-parameterized $\Sigma$ is

Σ = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + 2 σ_{12} & σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2} \\ σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2} & σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} - 2 σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{A}^{2} & σ_{A B} \\ σ_{A B} & σ_{B}^{2} \end{matrix}] .

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} & \sigma^2_1 - \sigma^2_2\\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 - 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}.$

$\Sigma$ can be decomposed into

Σ = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \\ σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} σ_{2}^{2} & - σ_{2}^{2} \\ - σ_{2}^{2} & σ_{2}^{2} \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} σ_{12} & 0 \\ 0 & - σ_{12} \end{matrix}] .

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}\sigma_{12} & 0\\ 0 & -\sigma_{12}\end{bmatrix}.$

Setting the covariance parameter $\sigma_{12}$ to zero we get

Σ = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \\ σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} σ_{2}^{2} & - σ_{2}^{2} \\ - σ_{2}^{2} & σ_{2}^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} & σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2} \\ σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2} & σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1 - \sigma^2_2 \\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2\end{bmatrix}$

que, como @Jake Westfall dedujo de manera ligeramente diferente, prueba la hipótesis de varianzas iguales cuando comparamos un modelo sin este parámetro de covarianza con un modelo en el que el parámetro de covarianza todavía se incluye / no se establece en cero.

En particular, la introducción de otro factor de agrupación aleatorio cruzado (como los estímulos) no cambia la comparación del modelo que debe hacerse, es decir, anova(mod1, mod2)(opcionalmente con el argumento refit = FALSEcuando usa la estimación REML) donde mod1y mod2se definen como @Jake Westfall.

Sacando $\sigma_{12}$ y el componente de varianza para el contraste $\sigma^2_2$ (lo que sugiere @Henrik) da como resultado

Σ = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \\ σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix}$

que prueba la hipótesis de que las varianzas en las dos condiciones son iguales y que son iguales a la covarianza (positiva) entre las dos condiciones.

Cuando tenemos dos condiciones, un modelo que se ajusta a una matriz de covarianza con dos parámetros en una estructura simétrica compuesta (positiva) también se puede escribir como

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# new model
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

o (usando la variable / factor categórico condition)

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

con

Σ = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} & σ_{1}^{2} \\ σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \\ σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} σ_{2}^{2} & 0 \\ 0 & σ_{2}^{2} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix}$

where $\sigma^2_1$ and $\sigma^2_2$ are the variance parameters for the participant and the participant-condition-combination intercepts, respectively. Note that this $\Sigma$ has a non-negative covariance parameter.

Below we see that mod1, mod3, and mod4 yield equivalent fits:

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

# new models 
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

anova(mod3, mod1)
# Data: d
# Models:
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
# mod1: sim_1 ~ contrast + ((1 | participant_id) + (0 + contrast | participant_id))
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod1  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

anova(mod4, mod3)
# Data: d
# Models:
# mod4: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id)
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod4  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

With treatment contrasts (the default in R) the re-parameterized $\Sigma$ is

Σ = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} + σ_{12} \\ σ_{1}^{2} + σ_{12} & σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + 2 σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \\ σ_{1}^{2} & σ_{1}^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & σ_{2}^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & σ_{12} \\ σ_{12} & 2 σ_{12} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma_{12}\\ \sigma^2_1 + \sigma_{12} & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & \sigma_{12}\\ \sigma_{12} & 2\sigma_{12}\end{bmatrix}$

where $\sigma^2_1$ is the variance parameter for the intercept (condition $A$ ), $\sigma^2_2$ the variance parameter for the contrast ( $A - B$ ), and $\sigma_{12}$ the corresponding covariance parameter.

We can see that neither setting $\sigma_{12}$ to zero nor setting $\sigma^2_2$ to zero tests (only) the hypothesis of equal variances.

However, as shown above, we can still use mod4 to test the hypothesis as changing the contrasts has no impact on the parameterization of $\Sigma$ for this model.

— statmerkur
fuente

Modelo de efectos mixtos: compare el componente de varianza aleatoria en los niveles de una variable de agrupación

Respuesta corta

Explicación visual / intuición

Prueba