La calidad de la aproximación integral, al menos en el caso tan simple como 1D, viene dada por (Teorema 2.10 en Niederreiter (1992) ):
∣∣1norte∑n = 1norteF(Xnorte) -∫10 0F( u )d u∣∣≤ ω ( f;re∗norte(X1, ... ,Xnorte) )
dónde
ω ( f; t ) = sup { |F( u ) - f( v ) | : u , v ∈ [ 0 , 1 ] , | u - v | ≤ t , t > 0 }
es el módulo de continuidad de la función (relacionado con la variación total, y fácilmente expresable para las funciones de Lipshitz), y
re∗norte(X1, ... ,Xnorte) =cenartu∣∣1norte∑norte1 {Xnorte∈ [ 0 , u ) } - u∣∣=12 N+maxnorte∣∣Xnorte-2 n - 12 N∣∣
es la discrepancia (extrema), o la diferencia máxima entre la fracción de golpes por la secuencia
X1, ... ,Xnorte de un intervalo semiabierto
[ 0 , u ) y su medida de Lebesgue
tu. La primera expresión es la definición, y la segunda expresión es propiedad de las secuencias 1D en
[ 0 , 1 ] (Teorema 2.6 en el mismo libro).
Obviamente, para minimizar el error en la aproximación integral, al menos en el RHS de su ecuación, debe tomar Xnorte= ( 2 n - 1 ) / 2 N. Atornille las evaluaciones aleatorias, corren el riesgo de tener una brecha aleatoria en una característica importante de la función.
Una gran desventaja de este enfoque es que debe comprometerse con un valor de nortepara producir esta secuencia uniformemente distribuida. Si no está satisfecho con la calidad de aproximación que proporciona, todo lo que puede hacer es duplicar el valor denorte y presione todos los puntos medios de los intervalos creados previamente.
Si desea tener una solución donde pueda aumentar el número de puntos más gradualmente, puede continuar leyendo ese libro y aprender sobre las secuencias de van der Corput e inversas radicales. Ver secuencias de baja discrepancia en Wikipedia, proporciona todos los detalles.
Actualización: para resolver porz, define la suma parcial
Sk=1norte∑n = 1kF(2 n - 12 N) .
Encontrar
k tal que
Sk≤12Snorte<Sk + 1,
e interpolar para encontrar
znorte=2 k - 12 N+Snorte/ 2-Sknorte(Sk + 1-Sk).
Esta interpolación supone que
F( ⋅ )es continuo Si adicionalmente
F( ⋅ ) es dos veces diferenciable, entonces esta aproximación integrando la expansión de segundo orden para incorporar
Sk - 1 y
Sk + 2y resolviendo una ecuación cúbica para
z.