Límites en la diferencia de variables aleatorias correlacionadas


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Dadas dos variables aleatorias altamente correlacionadas e , me gustaría limitar la probabilidad de que la diferenciaexcede cierta cantidad: XY|XY|

P(|XY|>K)<δ

Asuma por simplicidad que:

  • Se sabe que el coeficiente de correlación es "alto", por ejemplo: ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY1ϵ

  • X,Y son cero significa:μx=μy=0

  • 1xi,yi1 (o si eso es más fácil)0xi,yi1

  • (Si facilita las cosas, digamos que tienen una varianza idéntica: )X,YσX2=σY2

No estoy seguro de lo factible que es obtener un límite en la diferencia dada solo la información anterior (ciertamente no pude llegar a ninguna parte). Una solución específica (si la hubiera), restricciones adicionales obligatorias para imponer en las distribuciones, o simplemente consejos sobre un enfoque sería genial.

Respuestas:


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Incluso sin esos supuestos simplificadores, se puede obtener un límite combinando un par de herramientas habituales:

En cierto detalle:

σXY2=σX2+σY22·cov(X,Y)

cov(X,Y)=σX·σY·ρXY

σXY2=σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y

Según la desigualdad de Chebyshev, para cualquier variable aleatoria :Z

Pr(|Zμ|kσ)1k2

Entonces (y usando eso :μXY=μXμY)

Pr(|XYμX+μY|k·σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y)1k2

Podemos usar los supuestos de simplificación propuestos para obtener una expresión más simple. Cuando:

ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY=1ϵ
μx=μy=0
σX2=σY2=σ2

Entonces:

σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y=2·σ2·(1(1ϵ))=2σ2ϵ

Y por lo tanto:

Pr(|XY|k·σ2ϵ)1k2

Curiosamente, este resultado se cumple incluso si no es pequeño, y si la condición para la correlación cambia de a , el resultado no cambia (porque ya es una desigualdad).ϵ=1ϵ1ϵ

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