Límites en la diferencia de variables aleatorias correlacionadas

Dadas dos variables aleatorias altamente correlacionadas e , me gustaría limitar la probabilidad de que la diferenciaexcede cierta cantidad: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Asuma por simplicidad que:

Se sabe que el coeficiente de correlación es "alto", por ejemplo: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ son cero significa: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (o si eso es más fácil) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(Si facilita las cosas, digamos que tienen una varianza idéntica: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

No estoy seguro de lo factible que es obtener un límite en la diferencia dada solo la información anterior (ciertamente no pude llegar a ninguna parte). Una solución específica (si la hubiera), restricciones adicionales obligatorias para imponer en las distribuciones, o simplemente consejos sobre un enfoque sería genial.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
fuente

Incluso sin esos supuestos simplificadores, se puede obtener un límite combinando un par de herramientas habituales:

La varianza de la diferencia de dos variables correlacionadas . Nos permite convertir un problema de dos variables en un problema univariante.
La desigualdad de Chebyshev . Pone un límite a la probabilidad de exceder un valor dado.

En cierto detalle:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Según la desigualdad de Chebyshev, para cualquier variable aleatoria : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Entonces (y usando eso : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Podemos usar los supuestos de simplificación propuestos para obtener una expresión más simple. Cuando:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Entonces:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

Y por lo tanto:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

Curiosamente, este resultado se cumple incluso si no es pequeño, y si la condición para la correlación cambia de a , el resultado no cambia (porque ya es una desigualdad). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
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