¿Cómo demostrar que la función de base radial es un núcleo?

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Cómo demostrar que la función de base radial $k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$ es un núcleo? Por lo que yo entiendo, para probar esto tenemos que probar cualquiera de los siguientes:

Para cualquier conjunto de vectores $x_1, x_2, ..., x_n$ de la matriz $K(x_1, x_2, ..., x_n)$ = $(k(x_i, x_j))_{n \times n}$ es semidefinida positiva.
Un mapeo $\Phi$ puede ser presentado como $k(x, y)$ = $\langle\Phi(x), \Phi(y)\rangle$ .

¿Alguna ayuda?

svm kernel-trick

— León
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1

Solo para vincularlo más obviamente: el mapa de características también se discute en esta pregunta , particularmente la respuesta de Marc Claesen basada en la serie de Taylor y la mía que discute tanto la RKHS como la versión general de la inclusión

L_{2}

$L_2$ dada por Douglas a continuación.

— Dougal

26

Zen utilizó el método 1. Aquí está el método 2: Mapee $x$ a una distribución gaussiana esféricamente simétrica centrada en $x$ en el espacio de Hilbert $L^2$ . La desviación estándar y un factor constante tienen que ajustarse para que esto funcione exactamente. Por ejemplo, en una dimensión,

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\exp [- (x - z)^{2} / (2 σ^{2})]}{\sqrt{2 π} σ} \frac{\exp [- (y - z)^{2} / (2 σ^{2})}{\sqrt{2 π} σ} d z = \frac{\exp [- (x - y)^{2} / (4 σ^{2})]}{2 \sqrt{π} σ} .

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\exp[-(x-z)^2/(2\sigma^2)]}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \frac{\exp[-(y-z)^2/(2 \sigma^2)}{\sqrt{2 \pi} \sigma} dz = \frac{\exp [-(x-y)^2/(4 \sigma^2)]}{2 \sqrt \pi \sigma}.$

Entonces, use una desviación estándar de y la escala de la distribución de Gauss para obtener. Este último cambio de escala se produce porque lanormade una distribución normal no esen general. $\sigma/\sqrt 2$ $k(x,y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$ $L^2$ $1$

— Douglas Zare
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2

@ Zen, Douglas Zare: gracias por sus excelentes respuestas. ¿Cómo se supone que debo seleccionar la respuesta oficial ahora?

— Leo

23

Usaré el método 1. Verifique la respuesta de Douglas Zare para una prueba usando el método 2.

Voy a probar el caso cuando son números reales, por lo que . El caso general sigue mutatis mutandis del mismo argumento, y vale la pena hacerlo. $x,y$ $k(x,y)=\exp(-(x-y)^2/2\sigma^2)$

$\sigma^2=1$

$k(x,y)=h(x-y)$

h (t) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = E [e^{i t Z}]

$h(t)=\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=\mathrm{E}\left[e^{itZ}\right]$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

$x_1,\dots,x_n$ $a_1,\dots,a_n$

\sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} a_{k} h (x_{j} - x_{k}) = \sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} a_{k} E [e^{i (x_{j} - x_{k}) Z}] = E [\sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} e^{i x_{j} Z} a_{k} e^{- i x_{k} Z}] = E [{| \sum_{j = 1}^{n} a_{j} e^{i x_{j} Z} |}^{2}] \geq 0,

$\sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,h(x_j-x_k) = \sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,\mathrm{E} \left[ e^{i(x_j-x_k)Z}\right] = \mathrm{E} \left[ \sum_{j,k=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\,a_k\,e^{-i x_k Z}\right] = \mathrm{E}\left[ \left| \sum_{j=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\right|^2\right] \geq 0 \, ,$

k

$k$

Para comprender este resultado con mayor generalidad, consulte el Teorema de Bochner: http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function

— zen
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2

h (t)

$h(t)$

x

$x$

y

$y$

1

Tks! Tengo prisa aquí. :-)

— Zen

1

h

$h$

23

$\mathcal X$ $\varphi$

$\kappa$ $\gamma \kappa$ $\gamma > 0$

$\varphi$ $\kappa$ $\sqrt\gamma \varphi$ $\gamma \kappa$
$\kappa_1$ $\kappa_2$ $\kappa_1 + \kappa_2$

$\varphi_1$ $\varphi_2$ $x \mapsto \begin{bmatrix}\varphi_1(x) \\ \varphi_2(x)\end{bmatrix}$
$\kappa_1, \kappa_2, \dots$ $\kappa(x, y) := \lim_{n \to \infty} \kappa_n(x, y)$ $x, y$ $\kappa$

Prueba: Para cada y cada tenemos que . Tomar el límite como da la misma propiedad para . $m, n \ge 1$ $\{ (x_i, c_i) \}_{i=1}^m \subseteq \mathcal{X} \times \mathbb R$ $\sum_{i=1}^m c_i \kappa_n(x_i, x_j) c_j \ge 0$ $n \to \infty$ $\kappa$
Productos: Si y son núcleos pd, también lo es . $\kappa_1$ $\kappa_2$ $g(x, y) = \kappa_1(x, y) \, \kappa_2(x, y)$

Prueba: se deduce inmediatamente del teorema del producto Schur , pero Schölkopf y Smola (2002) dan la siguiente prueba agradable y elemental. Deje sea independiente. Así, Las matrices de covarianza deben ser psd, por lo que considerar la matriz de covarianza de prueba.
$(V_{1}, \dots, V_{m}) \sim N (0, {[κ_{1} (x_{i}, x_{j})]}_{i j}) (W_{1}, \dots, W_{m}) \sim N (0, {[κ_{2} (x_{i}, x_{j})]}_{i j})$ $(V_1, \dots, V_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_1(x_i, x_j) \right]_{ij} \right) \\ (W_1, \dots, W_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_2(x_i, x_j) \right]_{ij} \right)$ $C o v (V_{i} W_{i}, V_{j} W_{j}) = C o v (V_{i}, V_{j}) C o v (W_{i}, W_{j}) = κ_{1} (x_{i}, x_{j}) κ_{2} (x_{i}, x_{j}) .$ $\mathrm{Cov}(V_i W_i, V_j W_j) = \mathrm{Cov}(V_i, V_j) \,\mathrm{Cov}(W_i, W_j) = \kappa_1(x_i, x_j) \kappa_2(x_i, x_j).$ $(V_1 W_1, \dots, V_n W_n)$
Potencias: si es un núcleo pd, también lo es para cualquier entero positivo . $\kappa$ $\kappa^n(x, y) := \kappa(x, y)^n$ $n$

Prueba: inmediata de la propiedad "productos".
Exponentes: Si es un núcleo pd, también lo es . $\kappa$ $e^\kappa(x, y) := \exp(\kappa(x, y))$

Prueba: tenemos ; use las propiedades "poderes", "escalas", "sumas" y "límites". $e^\kappa(x, y) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} \kappa(x, y)^n$
Funciones: Si es un núcleo pd , es. $\kappa$ $f : \mathcal X \to \mathbb R$ $g(x, y) := f(x) \kappa(x, y) f(y)$

Prueba: utilice el mapa de funciones . $x \mapsto f(x) \varphi(x)$

Ahora, tenga en cuenta que Comience con el núcleo lineal , aplique "scalings" con , aplique "exponentes" y aplique "funciones" con .

\begin{aligned} k (x, y) & = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x - y ‖^{2}) \\ = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x ‖^{2}) \exp (\frac{1}{σ^{2}} x^{T} y) \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ y ‖^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align*} k(x, y) &= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x - y \rVert^2 \right) \\&= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right) \exp\left( \tfrac{1}{\sigma^2} x^T y \right) \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert y \rVert^2 \right) .\end{align*}$

κ (x, y) = x^{T} y

$\kappa(x, y) = x^T y$

\frac{1}{σ^{2}}

$\frac{1}{\sigma^2}$

x \mapsto \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x ‖^{2})

$x \mapsto \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right)$

— Dougal
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