Distribuciones en el simplex con componentes correlacionados

Estoy buscando algún tipo de distribución sobre el símplex en el que los componentes están correlacionados de manera ordinal. Es decir, si$p = (p_1, ..., p_J)$ se extrae de nuestra distribución en el simplex, me gustaría $p_i$ estar positivamente correlacionado con sus vecinos $p_{i + 1}$ y $p_{i - 1}$decir Un Dirichlet de vainilla claramente no puede satisfacer este requisito. Una opción, supongo, es una mezcla de distribuciones de Dirichlet; por ejemplo, cuando$J = 4$ uno podría tomar $\mathcal D(1, 1, 0, 0) + \mathcal D(0, 1, 1, 0) + \mathcal D(0, 0, 1, 1)$o algo similar para inducir correlación, pero me pregunto si hay algo un poco más natural. Otra opción, supongo, es tomar cualquier distribución en$\{1, 2, ..., J\}$decir $f(j | \eta)$, poner una distribución en $\eta$ tomar $p_j = f(j | \eta)$. Entonces podría tomar, por ejemplo,$\eta \sim \mbox{Beta}(\alpha, \beta)$y deje que .$f(j | \eta) = {J \choose j} \eta^j (1 - \eta)^{J - j}$

En cualquier caso, me gustaría que todo lo que termine sea lo más manejable posible. La mezcla de Dirichlet es atractiva porque podría obtener una buena conjugación condicional para mí, pero no está claro cómo configurar las cosas. Esta pregunta habla sobre la distribución logística normal, pero no sé mucho al respecto; ¿Es manejable para la inferencia bayesiana?

Por supuesto, los componentes de un Dirichlet ya están correlacionados negativamente, y pedir una "correlación positiva" probablemente no sea totalmente coherente ya que si es grande, entonces, por naturaleza, ocupa la mayor parte de la masa y, por lo tanto, obliga a la probabilidad de sus vecinos para ser pequeños. Quizás lo que quiero decir es que se correlaciona positivamente con . Afortunadamente, la pregunta tal como se indica es suficiente para que las personas sepan lo que quiero y puedan ayudarme.$p_i$$p_i$$p_{i + 1} / \sum_{j \ne i} p_j$

Una forma de tener un viviendo en el simplex, sin las limitaciones impuestas por las covarianzas negativas de la distribución de Dirichlet, es definir , para , donde la matriz tiene rango . Agregando la restricción , cualquier distribución normal dimensional puede asignarse a .$\theta=(\theta_1,\dots,\theta_k)$$\phi_i=\sum_{j=1}^k c_{ij} \log \theta_j$$i=1,\dots,k-1$$(k-1)\times k$$C=(c_{ij})$$k-1$$\sum_{i=1}^k\theta_i=1$$k-1$$\phi=(\phi_1,\dots,\phi_{k-1})$

La inferencia bayesiana es manejable dentro de esta rica clase de distribuciones introducida y estudiada por Aitchison en una serie de documentos.

Revista de la Royal Statistical Society, , , 139-177 (1982),$\textbf{B}$$\textbf{44}$

Revista de la Royal Statistical Society, , , 136-146 (1985);$\textbf{B}$$\textbf{47}$

y en su libro

$\textit{The Statistical Analysis of Compositional Data}$ . Chapman y Hall: Londres (1986).