Independencia de las estadísticas de la distribución gamma

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Sea una muestra aleatoria de la distribución gamma . $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Sea y la media muestral y la varianza muestral, respectivamente. $\bar{X}$ $S^2$

Luego pruebe o refute que y son independientes. $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

Mi intento: desde , debemos verificar la independencia de y , pero ¿cómo debo establecer la independencia entre ellos? $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— campanario
fuente

2

Consideremos el conjunto de Laplace transformar la suma de y el vector de proporciones . Esto es ; puede demostrar que este es el producto de una función de y una función de .

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$

W

$\mathbf{W}$

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

— Yves

@Yves ¿Podría verificar mi respuesta publicada a continuación?

— bellcircle

3

Hay una demostración linda, simple, intuitivamente obvia para integral $\alpha.$ Se basa solo en propiedades bien conocidas de la distribución uniforme, la distribución Gamma, los procesos de Poisson y las variables aleatorias y es así:

Cada es el tiempo de espera hasta que ocurran puntos de un proceso de Poisson. $X_i$ $\alpha$
La suma es el tiempo de espera hasta que ocurran puntos de ese proceso. Llamemos a estos puntos $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
Condicional a , los primeros puntos se distribuyen uniformemente de manera independiente entre e $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
Por lo tanto, las relaciones se distribuyen uniformemente de manera independiente entre y En particular, sus distribuciones no dependen de $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
En consecuencia, cualquier función (medible) de es independiente de $Z_i/Y$ $Y.$
Entre tales funciones están (donde los corchetes denotan las estadísticas de orden de ).
$\begin{aligned} X_{1} / / Y & = Z_{[α]} / / Y \\ X_{2} / / Y & = Z_{[2 α]} / / Y - Z_{[α]} / / Y \\ ... \\ X_{norte - 1} / / Y & = Z_{[(norte - 1) α]} / / Y - Z_{[(norte - 2) α]} / / Y \\ X_{norte} / / Y & = 1 - Z_{[(norte - 1) α]} / / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

En este punto, simplemente tenga en cuenta que puede escribirse explícitamente como una función (medible) de y, por lo tanto, es independiente de $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— whuber
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3

Desea demostrar que la media y las rv.s son independientes, o de manera equivalente, que la suma y las relaciones son independiente. Podemos probar un resultado un poco más general suponiendo que tiene formas posiblemente diferentes , pero la misma escala que se puede suponer que es . $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ $\beta = 1$

Considere la transformación conjunta de Laplace de y es decir, Esto se expresa como una integral dimensional sobre donde la constante es relativa a . Si introducimos nuevas variables bajo el signo integral estableciendo $U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) : = mi {Exp [- t U - z^{⊤} W} = mi {Exp [- t \sum_{yo} X_{yo} - \sum_{yo} z_{yo} \frac{X_{yo}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int Exp [- (1 + t) (X_{1} + \dots + X_{norte}) - \frac{z_{1} X_{1} + \dots + z_{norte} X_{norte}}{X_{1} + \dots + X_{norte}}] X_{1}^{α_{1} - 1} ... X_{norte}^{α_{norte} - 1} re X

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , vemos fácilmente que la integral se puede escribir como un producto de dos funciones, una dependiendo de la otra dependiendo del vector . Esto prueba que y son independientes.

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

Descargo de responsabilidad . Esta pregunta se relaciona con el teorema de Lukacs sobre la independencia de la suma-proporción , por lo tanto, con el artículo de Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Acabo de extraer aquí la parte relevante de este artículo (es decir, p. 324), con algunos cambios en las anotaciones. También reemplacé el uso de la función característica por la de la transformación de Laplace para evitar cambios de variables que involucran números complejos.

— Yves
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1

(+1) Para el artículo sobre la caracterización de la distribución gamma.

— StubbornAtom

1

Deje . Tenga en cuenta que es una estadística auxiliar de , es decir, su distribución no depende de . $U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

Como es una estadística completa suficiente de , es independiente de por el teorema de Basu, por lo que la conclusión sigue. $U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

No estoy seguro de la construcción de la estadística auxiliar, ya que solo es independiente de , no . $\beta$ $\alpha$

— campanario
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Bueno. El teorema se puede invocar con considerado como fijo, por lo que se considera un modelo estadístico de un parámetro.

α

$\alpha$

— Yves