¿Cuál es la intuición detrás de la diferenciación de segundo orden?

A veces, una serie de tiempo puede necesitar diferenciarse para hacerse estacionaria. Sin embargo, no entiendo cómo la diferenciación de segundo orden puede ayudar a hacerla estacionaria cuando la diferenciación de primer orden no es suficiente.

¿Podría dar una explicación intuitiva para la diferenciación de segundo orden y los casos donde se necesita?

La diferenciación de segundo orden es la analogía discreta de la segunda derivada. Para una serie temporal discreta, la diferencia de segundo orden representa la curvatura de la serie en un punto dado en el tiempo. Si la diferencia de segundo orden es positiva, la serie temporal se curva hacia arriba en ese momento, y si es negativa, la serie temporal se curva hacia abajo en ese momento.

La diferencia de segundo orden de una serie temporal discreta en el momento es:$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Esto es positivo si y negativo si (y cero si ). Si hay más cambios hacia arriba (menos hacia abajo) en la serie en este momento que en el tiempo anterior, hay una curvatura positiva, y si hay menos cambios hacia arriba (más hacia abajo) en la serie en este momento que en el tiempo anterior, Hay curvatura negativa.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Dos pensamientos:

Recursividad . Después de la diferencia de primer orden, ¿qué tienes? Otra serie de tiempo que, en las condiciones adecuadas, está más cerca de la estacionaria. Si no está lo suficientemente cerca, ahora tiene una serie temporal que no es estacionaria y desea acercarla a estacionaria, por lo que toma una diferencia de primer orden. (Lo que resulta ser una diferencia de segundo orden de la serie de tiempo original). Si la serie de tiempo diferenciada no es lo suficientemente cercana a estacionaria, usted ... [recurse] ...

Derivados . Imagine que registra la ubicación del GPS de su automóvil cada 10 minutos. Si pudiera tomar los puntos de GPS de dos días y mostrárselos y no pudieras saber qué día pudo haber sido, tal vez ni siquiera podría diferenciar un día de otro, tus datos de ubicación serían estacionario.

¿Pero digas que manejaste a una ciudad cercana diferente cada día durante dos semanas? Podrías notar fácilmente la diferencia entre los días, tal vez incluso sabiendo exactamente qué día te estaba mostrando. No estacionario

Quizás si en cambio registrara su distancia de su hogar cada 10 minutos, sus datos serían más estacionarios. La distancia no incluye la dirección, entonces ¿quizás ahora sus datos para esas dos semanas se verían iguales? (La ubicación promedio es el hogar, por ejemplo).

Digamos, en cambio, que elegiste conducir desde Nueva York hasta Los Ángeles. El truco de la distancia no funcionaría, ya que tu distancia te daría una distinción bastante clara entre días.

Pero puede optar por registrar su velocidad cada 10 minutos. Conduciendo a campo traviesa por el sistema interestatal, sus días tenderían a parecerse mucho, en cuanto a velocidad. Es decir, su velocidad sería estacionaria.

Say, la ubicación en el tiempo 0 es , y 10 y 20 minutos más tarde es y , respectivamente. La distancia recorrida en cada intervalo de 10 minutos sería y , que, cuando se divide por el intervalo de tiempo, produce la velocidad (las mismas unidades que la velocidad pero con dirección). El segundo diferencial, es la aceleración. Si la velocidad es estacionaria y el vehículo se mueve constantemente, las diferencias de ubicación también serían estacionarias.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$