Ms. A selecciona un número


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Ms. A selecciona un número X al azar de la distribución uniforme en [0,1]. Luego, el Sr. B repetidamente, e independientemente, dibuja números Y1,Y2,... de la distribución uniforme en [0,1], hasta que obtenga un número mayor que X2, luego se detiene. La suma esperada del número que saca el Sr. B, dadaX=x, igual?

La respuesta a esto es 1(2x). Obtuve el número esperado de sorteos comoln4 tomando Z como una variable aleatoria para el número de sorteos que sigue la distribución geométrica con el parámetro p=1x2. Pero no sé cómo calcular la suma esperada deYi. Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas:


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Aunque no incluiste la self-studyetiqueta, primero te doy dos pistas y luego la solución completa. Puede dejar de leer después de la primera o segunda pista e intentarlo usted mismo.

Pista 1 :

por a(0,1) tenemos

m=0mam=a(1a)2

Pista 2 :

Dejar K ser número de números dibujados por el Sr. B. Y dejar que su "variable objetivo", E(Y1++YK|X=x) ser denotado por Z. Tenga en cuenta que esta es una variable aleatoria, no un número real (ya queKes una variable aleatoria) Entonces, por la ley de la expectativa total,E(Z)=E(E(Z|K)).

Solución completa :

K sigue, como usted mencionó, la distribución geométrica con probabilidad de éxito p=1x2. Entonces

E(Z)=E(E(Z|K))=k=1E(Z|K=k)P(K=k)

y

P(K=k)=(1p)k1p=(x2)k1(1x2)
.

Centrémonos en E(Z|K=k). Esto es ahoraE(Y1++Yk|X=x,K=k). Aviso minúsculak¡¡¡aquí!!! Ya queYson independientes esto es igual

E(Y1|X=x,K=k)++E(Yk|X=x,K=k)
.

Acondicionamiento en X=x y K=k significa que Y1,,Yk1 se extraen uniformemente de [0,x2) y Yk se extrae uniformemente de (x2,1].

Entonces

E(Y1|X=x,K=k)==E(Yk1|X=x,K=k)=x4

y

E(Yk|X=x,K=k)=1+x22=2+x4

Poniendo todo esto junto:

E(Z|K=k)=(k1)x4+2+x4

Y

E(Z)=k=1((k1)x4+2+x4)P(K=k)=k=1(k1)x4P(K=k)+k=12+x4P(K=k)

La segunda parte es fácil (la última igualdad usa el hecho de que la suma de la función de masa de probabilidad suma 1):

k=12+x4P(K=k)=2+x4k=1P(K=k)=2+x4

Para obtener esto, también puede usar el hecho de que el Sr. B siempre saca un último número de (x2,1], sin importar el valor de K tomó.

La primera parte es solo un poco más difícil:

k=1(k1)x4P(K=k)=k=1(k1)x4(x2)k1(1x2)

Mueve todo lo que no dependa k en suma para obtener:

x4(1x2)k=1(k1)(x2)k1

Introducir m=k1:

x4(1x2)m=0m(x2)m

Use la pista 1 con a=x2:

x4(1x2)x2(1x2)2

Para finalmente obtener

x28(1x2)=x28(2x2)=x24(2x)

Y agregue la segunda parte (la fácil):

x24(2x)+2+x4=x24(2x)+(2+x)(2x)4(2x)=x2+(4x2)4(2x)=44(2x)=12x

Whoah !!!!


¡¡¡¡Genio!!!! Estoy más que agradecido! : D
Shreya Bhandari

El gusto es mio. De Verdad. Disfruté este "enigma" ☺
Łukasz Deryło

2

Otro ángulo de solución (sumando no con P (K = k) sino con P (K> = k)):

E(Yk)=E(Yk)=k=1E(Yk|K>=k)P(K>=k)=k=012(x2)k=12x

1
¿Podrías dar más detalles? No conseguí el trabajo
Shreya Bhandari

Harás un k-ésimo sorteo en una fracción (x2)k1del tiempo, y en esa fracción del tiempo contribuirá 1/2 al valor esperado de la suma. Podrías ver el valor deYk como se distribuye como una distribución de mezcla de una distribución uniforme (entre 0 y 1, cuando se dibuja) y un valor constante (0, cuando no se dibuja).
E(Yk)=12(x2)k1
Sextus Empiricus

Okay, help me understand this, if you're including the 'equal to' case in the inequality, shouldn't P(Kk) include the Kth success (with probability 1x2) and not just the k1 failures (with probability x2) that occured prior to it?
Shreya Bhandari

It includes both the possibility of success and failure
0.5(1x2)+0.5(x2)
Sextus Empiricus

The formula k=1E(Yk|K>=k)P(K>=k) is weird since Yk depends on k.
Stéphane Laurent
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