Propiedades de una variable aleatoria discreta

Mi curso de estadísticas acaba de enseñarme que una variable aleatoria discreta tiene un número finito de opciones ... No me había dado cuenta de eso. Pensé que, como un conjunto de enteros, podría ser infinito. Buscar en Google y consultar varias páginas web, incluidas algunas de cursos universitarios, no ha podido confirmar esto específicamente; sin embargo, la mayoría de los sitios dicen que las variables aleatorias discretas son contables . ¿Supongo que eso significa que están numeradas finitamente?

Está claro que las variables aleatorias continuas son infinitas incluso si (¿la mayoría?) A menudo están limitadas.

Pero si las variables aleatorias discretas tienen posibilidades finitas, ¿cuál es entonces una distribución infinita de enteros? ¿No es discreto ni continuo? ¿Es discutible la pregunta porque las variables tienden a ser continuas y (por definición) infinitas o discontinuas y finitas?

random-variable discrete-data

— James
fuente

Debes preguntar a tu curso de estadísticas sobre variables aleatorias geométricas y de Poisson

— probabilidadislogica

Está en línea, por lo que los comentarios son limitados. ¿Estás sugiriendo que son un tercer (y cuarto) tipo de variable, en lugar de solo (!) Distribuciones?

— James

Una distribución no es una variable aleatoria, e ignorar esa distinción ha confundido a muchos. Un hermoso teorema de las matemáticas de principios del siglo XX, el teorema de descomposición de Lebesgue , muestra cómo concebir todas las funciones de distribución como compuestas de tres tipos distintos: "continuo" (que se subdivide en absolutamente continuo y continuo pero no ac) y "discreto". "

— whuber

No es un buen curso que esté tomando, me temo

— Aksakal

A todas las respuestas aquí, gracias (aunque algunas están sobre mi cabeza, lo confesaré). Probablemente debería referirme a lo que desencadenó esta pregunta, ya que al revisarla, podría haberla interpretado incorrectamente: una pregunta verdadera / falsa que dice "Una variable aleatoria discreta puede tomar un número finito de valores distintos" se considera verdadera; con la explicación de que la afirmación "es una de las propiedades clave de una variable aleatoria discreta". Si encuestáramos a los agricultores preguntando cuánto ganado poseían, sería imposible vincular el número de antemano, ¿es teóricamente infinito pero discreto ...?

— James

Respuestas:

Si eso es lo que dijo su curso, está mal.

Si bien las distribuciones discretas pueden tener un número finito de resultados posibles, no están obligados a hacerlo; puede tener una distribución discreta que tenga un número infinito de resultados posibles: el número de elementos no debe ser más que contable.

Un ejemplo común sería una distribución geométrica; considere el número de lanzamientos de una moneda justa hasta que obtenga una cara. No hay límite superior finito en la cantidad de lanzamientos que pueden ser necesarios. Puede tomar 1 lanzamiento, o 2, o 3, o 100, o cualquier otro número.

Una distribución discreta podría ser negativa (considere la diferencia entre dos variables aleatorias distribuidas geométricamente; puede ser cualquier número entero positivo o negativo).

Sin embargo, una distribución discreta no tiene que estar sobre los enteros, como en mi ejemplo. Esa es solo una situación común, no un requisito.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Entonces, ¿cuál es la condición real que hace que una distribución sea "discreta"? :)

— Mateo Drury

La condición es que tiene la medida cero de Lebesgue, ¿no es así, @matthewDrury ?. Lo que a su vez es equivalente a la distribución que suma a uno en un conjunto contable como máximo.

— Therkel

Debo admitir que no sé las definiciones canónicas. Tengo curiosidad sobre el papel de los puntos de acumulación en todo esto.

— Matthew Drury

@Therkel Creo que una distribución sobre el conjunto de Cantor no se consideraría "discreta".

— Acumulación

Después de verificar en.wikipedia.org/wiki/Countable_set , estoy feliz de aceptar esto como respuesta; El ejemplo de distribución geométrica es claro, y parece representar el consenso de las respuestas aportadas hasta ahora.

— James

Estoy escribiendo una respuesta, con la perspectiva de que solo tengo una comprensión muy ingenua de la probabilidad teórica de la medida (por lo tanto, expertos, ¡corríjanme!).

Una variable aleatoria (de valor real) es una función , donde es un espacio muestral. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

$X$ es discreto si , la imagen de inducida por , es contable. es continuo si tiene un CDF absolutamente continuo . (No sé mucho sobre funciones absolutamente continuas, por lo que no puedo dar más detalles sobre este punto). $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

Sin embargo, no todas las variables aleatorias son solo discretas o continuas. Hay variables aleatorias "mixtas", donde tiene un CDF que es la suma de una función de paso y una función continua con indicadores. $X(s)$

También puede tener variables aleatorias que no sean discretas ni continuas, como la distribución de Cantor .

— Clarinetista
fuente

En realidad, sabe bastante sobre distribuciones absolutamente continuas, porque (casi por definición) una distribución absolutamente continua es aquella que tiene una densidad. Hay distribuciones continuas que no tienen densidades: el ejemplo arquetípico es la distribución inducida por la función de Cantor .

— whuber

Si la imagen contable tiene un punto de acumulación, ¿podríamos decir que es discreta?

— Matthew Drury

@Matthew Sí. El ejemplo que mencioné en otro comentario ( stats.stackexchange.com/a/104018/919 ), que es claramente discreto (cada uno de un número contable de valores tiene una probabilidad distinta de cero, por lo que su función de distribución consiste en nada más que saltos) tiene todo el intervalo para su conjunto de puntos de acumulación.

[0, 1]

$[0,1]$

— whuber

Para citar la página de wikipedia sobre variables continuas y discretas :

Si [la variable] puede tomar dos valores reales particulares de tal manera que también puede tomar todos los valores reales entre ellos (incluso los valores que están arbitrariamente juntos), la variable es continua en ese intervalo

Por lo tanto, una variable aleatoria discreta no tiene que tener un 'número finito de opciones', pero debe haber una brecha no infinitesimal entre los valores posibles. Este es el caso con una distribución de enteros, ya que la 'distancia' entre dos enteros vecinos es 1 y no puede ser menor que esto. Por lo tanto, la variable no es continua, ya que no 'continúa' dentro de estas brechas.

Editar: Sé que probablemente hay formas mejores y / o más precisas de responder esto, pero esto es lo que me ayudó personalmente a entender la diferencia.

— deemel
fuente

Solo para su información, para la intuición, la caracterización de Wikipedia podría estar bien, pero para la mayoría de los otros propósitos no es correcta. Un aspecto importante de la "variable aleatoria continua" que omite (de varios) es que depende de las probabilidades de sus valores, no solo del conjunto de valores que puede alcanzar. Desafortunadamente, su caracterización de la brecha "no infinitesimal" es incorrecta. Doy un contraejemplo en stats.stackexchange.com/a/104018/919 que muestra una variable discreta que asigna probabilidades positivas a todos los números racionales entre y

0

$0$

1.

$1.$

— whuber

Algunos autores han dicho que los valores que se acercan arbitrariamente no son discretos, pero debo admitir que me resulta extraño (aunque quizás me falta algo). Un ejemplo es la distribución de la diferencia de raíces cuadradas de dos variables aleatorias de Poisson (con aplicaciones reales: las personas a veces toman raíces cuadradas con variables que se consideran Poisson para estabilizar la varianza y pueden estar interesados en saber si las diferencias de pares están centradas en cero). Los valores pueden estar arbitrariamente juntos con una variante de este tipo, pero siempre son distintos (puede enumerar cada uno), ...

— ctd

ctd ... y todos los valores que toma tienen una probabilidad positiva. Un ejemplo más simple sería el recíproco de una variable aleatoria geométrica (forma de número de ensayos): para cualquier hay valores más cercanos que eso, entonces es discreto pero no lo es? ¿Alguien sabe de una buena razón por la cual esta distinción particular (que los valores no pueden ser arbitrariamente juntos para que sea discreta) es trazada por algunos autores? Compare con el ejemplo de un conjunto discreto ...

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

— ctd

@Glen Esos autores parecen confundir dos conceptos diferentes de "discreto": uno es la idea teórica de la medida discutida aquí y el otro es el concepto topológico en el que cada elemento de un conjunto discreto en un espacio topológico está contenido dentro de un conjunto abierto sin tener otros elementos de en él. Aunque es bueno que una medida de probabilidad compatible con cualquier subconjunto discreto de la línea real sea discreta, lo contrario no es cierto: las medidas discretas no necesitan ser compatibles con subespacios discretos.

A

$A$

A

$A$

— whuber

Supongo que es una confusión que tenía en mi cabeza. Soy un topólogo entrenado, tan discreto definitivamente suena en el contexto topológico cuando lo escucho. Gracias por aclarar a @whuber.

— Matthew Drury