Encontrar densidades marginales de

Como dice el título, estoy buscando las densidades marginales de

F (X, y) = C \sqrt{1 - X^{2} - y^{2}}, X^{2} + y^{2} \leq 1)

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Hasta ahora he encontrado que $c$ es $\frac{3}{2 \pi}$ . Lo descubrí convirtiendo $f(x,y)$ en coordenadas polares e integrándolo sobre $drd\theta$ , por eso estoy atascado en la porción de densidades marginales. Sé que $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ , pero no estoy seguro de cómo resolver eso sin obtener una gran integral desordenada, y sé que no se supone que la respuesta sea Una gran integral desordenada. ¿Es posible encontrar en su lugar , y luego tomar $F(x,y)$ para encontrar? Esa parece ser la forma intuitiva de hacerlo, pero parece que no puedo encontrar nada en mi libro de texto que indique esas relaciones, por lo que no quería hacer suposiciones equivocadas. $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$

self-study marginal multivariable

— Jarrod
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@kwak No estoy seguro de por qué era necesario cambiar el título ... la etiqueta de "tarea" debería ser suficiente.

— Shane

@Shane:> ok volvió a cambiar al original.

— usuario603

La geometría ayuda aquí. La gráfica de es una cúpula esférica de radio unitario. (De inmediato se deduce que su volumen es la mitad del de una esfera unitaria, , de donde .) Las densidades marginales están dadas por áreas de secciones transversales verticales a través de esta esfera . Obviamente, cada sección transversal es un semicírculo: para obtener la densidad marginal, encuentre su radio en función de la variable restante y use la fórmula para el área de un círculo. La normalización de la función univariante resultante para tener un área unitaria la convierte en una densidad. $f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

— whuber
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Ahh, es una especie de regreso de cálculo multivariable. Recuerdo haber hecho problemas como ese. ¿Cómo encuentro el radio en función de la variable restante? Todavía parece que me quedará algún tipo de monstruo integral.

— Jarrod

Deje que la variable restante sea

. Entonces

describe la región sobre la que debe integrarse. Evidentemente, el radio es igual a

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

, donde el área de la sección transversal es igual a

Esa es una fórmula bastante simple :-). (Recuerde, el tema aquí es la geometría, no el cálculo ...)

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

— whuber

Correcto. Eso cruzó por mi mente, pero parecía demasiado simple. Supongo que estaba decidido a que fuera complicado. ¡Gracias!

— Jarrod

Olvidé preguntar: ¿cómo c figura en esto?

— Jarrod

En mi opinión, la respuesta de Whuber merece ser votada por dos razones. Primero responde a la pregunta formulada, segundo como modelo de cómo podríamos en el futuro manejar las preguntas de tarea (explícitamente): este tipo de respuestas realmente contribuye al proceso de aprendizaje y podría ser una mejor política con respecto a la pregunta de tarea que la adoptada en MO / SO.

— user603