Intuición detrás de la fórmula para la varianza de una suma de dos variables.

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Sé por estudios previos que

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Sin embargo, no entiendo por qué es eso. Puedo ver que el efecto será 'elevar' la varianza cuando A y B covaran altamente. Tiene sentido que cuando cree un compuesto a partir de dos variables altamente correlacionadas, tenderá a agregar las observaciones altas de A con las observaciones altas de B, y las observaciones bajas de A con las observaciones bajas de B. Esto tenderá a crear valores extremos altos y bajos en la variable compuesta, aumentando la varianza del compuesto.

Pero, ¿por qué funciona multiplicar la covarianza por exactamente 2?

variance covariance intuition

— user1205901 - Restablecer Monica
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Si y están perfectamente correlacionados positivamente, entonces y si están perfectamente correlacionados negativamente, entonces . La covarianza mide hasta qué punto a lo largo de este rango está su relación

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— Henry

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Respuesta simple:

La varianza involucra un cuadrado:

V una r (X) = mi [(X - mi [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

Entonces, su pregunta se reduce al factor 2 en la identidad cuadrada:

(una + si)^{2} = {una}^{2} + {si}^{2} + 2 una si

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Que se puede entender visualmente como una descomposición del área de un cuadrado de lado en el área de los cuadrados más pequeños de los lados y , además de dos rectángulos de los lados y : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

Respuesta más complicada:

Si desea una respuesta matemáticamente más complicada, la covarianza es una forma bilineal, lo que significa que es lineal en sus argumentos primero y segundo, esto lleva a:

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (UNA, UNA) + C o v (UNA, si) + C o v (si, UNA) + C o v (si, si) \\ = V una r (UNA) + 2 C o v (UNA, si) + V una r (si) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

En la última línea, utilicé el hecho de que la covarianza es simétrica:

C o v (A, B) = C o v (B, A)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

Para resumir:

Es dos porque debe tener en cuenta tanto como . $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— byouness
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El conjunto de variables aleatorias es un espacio vectorial, y muchas de las propiedades del espacio euclidiano pueden ser analógicas a ellas. La desviación estándar actúa como una longitud, y la varianza como la longitud al cuadrado. La independencia corresponde a ser ortogonal, mientras que la correlación perfecta corresponde a la multiplicación escalar. Por lo tanto, la varianza de las variables independientes sigue el Teorema de Pitágoras:
. $var(A+B) = var(A)+var(B)$

Si están perfectamente correlacionados, entonces
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Tenga en cuenta que esto es equivalente a
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Si no son independientes, siguen una ley análoga a la ley de cosenos:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Tenga en cuenta que el caso general es uno entre independencia total y correlación perfecta. Si y son independientes, entonces es cero. Entonces, el caso general es que siempre tiene un término y un término , y luego tiene alguna variación en el $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ término; cuanto más correlacionadas estén las variables, mayor será este tercer término. Y esto es precisamente lo quees: son $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ veces eldey. $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

$MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

$r^2$ $cos$

— Acumulacion
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$Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

$A+B$

$A$
$B$
$A$ $B$
$B$ $A$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + C o v (A, B) + C o v (B, A)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V a r (A) + V a r (B) + 2 C o v (A, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— Bananin
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