¿Se conservan las probabilidades bajo la transformación de la función?

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Creo que esto es un poco básico, pero digamos que tengo una variable aleatoria $X$ , ¿es la probabilidad $P(X \leq a)$ la misma que $P(f(X) \leq f(a))$ para cualquier función continua con valor real $f$ ?

probability distributions

— Enlace L
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1

También: Generalmente,

.

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— Alexis

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Esto es válido solo si aumenta monotónicamente Si está disminuyendo monotónicamente, entonces . Por ejemplo, si , y X es una tirada de dado normal, entonces $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ pero $P(X \leq 5) = \frac56$ . Sicambia entre aumentar y disminuir, entonces es aún más complicado. $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

Tenga en cuenta que también existe el caso trivial de , en el que es igual a 1 si y 0 de lo contrario. $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Acumulacion
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+1 Debería haber agregado el caso inyectivo cuando esto es cierto.

— Stéphane Laurent

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No. Tome el uniforme en y . Entonces . Por otro lado . $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Stéphane Laurent
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Esto está relacionado con preguntar:

$X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$ ?

$f(X) \leq f(a)$ mientras $X \leq a$ . Pero, en todos los casos, requiere $f$ ser una función no monótona.

— Sexto empírico
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