¿Puede una probabilidad posterior ser> 1?

En la fórmula de Bayes:

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

¿Puede la probabilidad posterior exceder 1? $P(x|a)$

Creo que es posible si, por ejemplo, suponiendo que , y , y . Pero no estoy seguro de esto, porque ¿qué significaría que una probabilidad sea mayor que uno? $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— Thomas Moore
fuente

Uno debe ser preciso al definir la notación. No está claro qué representa

. Si

es (a) una distribución de probabilidad (en cuyo caso

son conjuntos) o (b) una función de masa en un espacio discreto, entonces las respuestas que ya tiene son esencialmente correctas. Si se entiende que

es una función de densidad, entonces no es cierto que

. La razón de la nitidez es que los tres tipos de funciones satisfacen la regla de Bayes. La notación

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

a

$a$

x

$x$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$

P (\cdot)

$P(\cdot)$ generalmente es para una distribución, pero el uso de caracteres en minúscula para los argumentos sugiere una densidad.

— chico

entonces la probabilidad posterior no puede exceder

. (La densidad posterior es una cuestión diferente: muchas distribuciones continuas tienen densidades superiores a

para algunos valores)

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$

1

$1$

1

$1$

— Henry

Si el cálculo posterior excede uno, cometió un error en alguna parte.

— Emil M Friedman

@EmilMFriedman, su respuesta es ambigua (y, por esa razón, potencialmente dañina), porque no indica si se refiere a una probabilidad o densidad

— whuber

La barrera de la unidad en la probabilidad puede y se ha roto. Vea mi publicación AT stats.stackexchange.com/questions/4220/… .

— Mark L. Stone

Respuestas:

Las condiciones asumidas no se cumplen; nunca puede ser cierto que por la definición de probabilidad condicional : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— khol
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No, no es posible que la probabilidad posterior exceda uno. Eso sería una violación del axioma normativo de la teoría de la probabilidad. Usando las reglas de probabilidad condicional, debe tener:

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

Esto significa que no puede tener las condiciones de desigualdad que ha especificado. (Por cierto, esta es una buena pregunta: es bueno que esté investigando las leyes de probabilidad en busca de problemas. Esto demuestra que está explorando estos asuntos con un mayor grado de rigor que la mayoría de los estudiantes).

Un punto adicional: Vale la pena hacer un punto adicional sobre esta situación, que es sobre la prioridad lógica de las diferentes características de probabilidad. Recuerde que la teoría de probabilidad comienza con un conjunto de axiomas que caracterizan qué es realmente una medida de probabilidad. De estos axiomas podemos derivar "reglas de probabilidad" que son teoremas derivados de los axiomas. Estas reglas de probabilidad deben ser consistentes con los axiomas para ser válidas. Si alguna vez descubrió que una regla de probabilidad conduce a una contradicción con uno de los axiomas (por ejemplo, la probabilidad del espacio muestral es mayor que uno), esto no falsificaría el axioma, sino que falsificaría la regla de probabilidad . Por lo tanto, incluso si fuera el caso, la regla de Bayes podríaconducir a una probabilidad posterior mayor que uno (no lo hace), esto no significa que pueda tener una probabilidad posterior mayor que uno; simplemente significaría que la regla de Bayes no es una regla de probabilidad válida.

— Reinstalar a Mónica
fuente

¿El numerador final debe ser P (x)?

— BallpointBen

Sigue mostrando P (a) para mí

— BallpointBen

Se supone que es P (a) en el numerador. La desigualdad muestra al OP que no puede tener P (a | x)> P (a) / P (x) como lo especificó en su pregunta.

— Vuelva a instalar Mónica

$\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$ which shows that the numerator is just one of the terms in the sum in the denominator, and so the fraction cannot exceed

1

$1$ in value.

— Dilip Sarwate
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+1 this is the easiest proof to me.

— Mehrdad

@Mehrdad Thanks. The other answers essentially prove that a conditional probability

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$ cannot exceed

1

$1$ via the result that

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$ cannot exceed

P (A)

$P(A)$ because

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$ and so it must be that

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$ , and have little relationship per se to Bayes' formula (as it is used in statistics to derive posterior probabilities from prior probabilities).

— Dilip Sarwate