Valor esperado del log-determinante de una matriz Wishart

Sea , es decir, distribuido según una distribución dimensional de Wishart con media y grados de libertad . Me gustaría una expresión para dondeEs el determinante. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Busqué en Google un poco la respuesta a esto y obtuve información contradictoria. Este documento declara explícitamente que donde denota la función digamma ; el documento no proporciona una fuente para este hecho por lo que puedo decir. Esta es también la fórmula utilizada en la página de Wikipedia para Wishart , que ubica el texto de Bishop's Pattern Recognition.

mi (Iniciar sesión El | Λ El |) = re Iniciar sesión 2 + Iniciar sesión El | Ψ El | + \sum_{yo = 1}^{re} ψ (\frac{ν - yo + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

Por otro lado, Google presentó esta discusión con un documento vinculado que dice que Concluyen afirmando que que se deriva del hecho de que . Verifiqué este cálculo a partir de y parece estar bien, pero tenemos un adicional .

ν^{re} \frac{El | Λ El |}{El | Ψ El |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - re + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

mi (Iniciar sesión El | Λ El |) = re Iniciar sesión 2 - re Iniciar sesión ν + Iniciar sesión El | Ψ El | + \sum_{yo = 1}^{re} ψ (\frac{ν - yo + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— chico
fuente

Cuando me estaba preparando para publicar esto, pude responder mi propia pregunta. De acuerdo con la etiqueta general de StackExchange, he decidido publicarlo de todos modos con la esperanza de que otra persona que se encuentre con este problema pueda encontrarlo en el futuro, posiblemente después de encontrarse con los mismos problemas con las fuentes que hice. He decidido responderlo de inmediato para que nadie pierda el tiempo, ya que la solución no es interesante.

$(\dagger)$ está mal, porque el artículo vinculado en la discusión estaba usando una parametrización diferente de Wishart; los comentaristas no lo notaron. Lo que deberíamos tener es Después de esta corrección, las dos fórmulas conducen a la misma respuesta.

\frac{El | Λ El |}{El | Ψ El |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - re + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

En cualquier caso, creo que es una relación interesante. $(\dagger\dagger)$

EDITAR:

Siguiendo el consejo de probabilisticlogic podemos escribir donde triangular inferior tiene elementos fuera de la diagonal y elementos en la diagonal. Tomar el determinante de ambos lados da inmediatamente. $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— chico
fuente

Me gusta más la versión Cholesky: tienes una raíz cuadrada de chi-cuadrado en la diagonal y normal estándar en el triángulo inferior.

— probabilidadislogic

@probabilityislogic ¡Gracias por el consejo! Recordarlo así parece más fácil y más útil.

— chico

Hola, estoy tratando de deducir la expectativa del registro Wishart (indicado en el libro de Bishop), que parece complicado, ¿encontraste alguna fuente para obtener el resultado?

— aguacate