Distribución de cuando e son iid con pdf

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Deje e ser variables aleatorias independientes con densidad común donde . Deje y . Encuentra la densidad conjunta de y por lo tanto encontrar la pdf de . $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

Como $U+V=X+Y$ , simplemente puedo encontrar el pdf de $X+Y$ para ver cuál debería ser el pdf de $U+V$

Obtengo el pdf de $T=X+Y$ como

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

Sin embargo, no estoy seguro de si esa integral se puede simplificar.

Volviendo a la pregunta real, el pdf conjunto de $(U,V)$ viene dado por

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

Hice un cambio de variables $(U,V)\to(W,Z)$ donde $W=U+V$ y $Z=U$ . El valor absoluto de jacobian es la unidad. Además, $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Entonces el pdf marginal de $W$ es

\begin{matrix} (2) & F_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0 0}^{w / / 2} (z (w - z))^{α - 1} re z 1_{0 0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

Es posible que haya cometido algún error en los soportes adecuados de las variables aleatorias. También es posible que la integral no tenga una solución en términos de funciones elementales. En cualquier caso, no pude proceder con la integral. Así que ni siquiera podía verificar que tiene el mismo PDF como . Parece que estoy recibiendo diferentes distribuciones de y . Y por curiosidad, ¿la distribución de tiene un nombre (en cuyo caso habría buscado la convolución de dos de esas variables aleatorias)? $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

Editar.

Continuando con la última integral que obtengo a mano

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ donde es la función beta incompleta regularizada. Usando la propiedad , obtenemos . Así que finalmente tenemos

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

Esto implica que

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

Que esto no es una densidad en el rango dado de se ve fácilmente. Así que siento que he cometido un gran error en alguna parte. He verificado mis cálculos con Mathematica y parecen estar de acuerdo. $w$

— ObstinadoAtom
fuente

@ Xi'an ¿Y la suma de las variantes beta independientes no tiene un formato cerrado en PDF quizás?

— ObstinadoAtom

@ Xi'an ¿Entonces siento que no hay nada de malo si termino mi respuesta con esa integral independientemente de si tiene una forma cerrada en términos de alguna función especial o no?

— StubbornAtom

Como una generalización de stats.stackexchange.com/questions/41467 (el caso donde ), esta pregunta probablemente se puede resolver utilizando una o más de las diversas técnicas explicadas en ese hilo.

α = 1

$\alpha=1$

— whuber

Dije erróneamente que , cuando de hecho suficiente para que sea una densidad válida. Esto a veces se llama distribución de función de potencia . Para es una densidad beta, y para

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$ es una densidad uniforme.

— StubbornAtom

Desde

\begin{aligned} \int_{max (t - β, 0 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} re y 1_{0 0 < t < 2 β} & = {\begin{cases} \int_{0 0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} re y & cuando 0 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} re y & cuando β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$ tenemos ( ) y por un cambio de variable en la segunda integral de rhs Del mismo modo, cuando

t < β

$t<\beta$

\int_{max (t - β, 0 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} re y = \int_{0 0}^{t / / 2} (y (t - y))^{α - 1} re y + \int_{t / / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} re y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{max (t - β, 0 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} re y = 2 \int_{0 0}^{t / / 2} (y (t - y))^{α - 1} re y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$ , nuevamente mediante un cambio de variable en la segunda integral de rhs. Sin embargo, no puedo recuperar la misma expresión funcional para la densidad en este segundo caso , a saber,

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} re y & = \int_{t - β}^{t / / 2} (y (t - y))^{α - 1} re y + \int_{t / / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} re y \\ = 2 \int_{t / / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} re y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$

2 \int_{0 0}^{w / / 2} (z (w - z))^{α - 1} re z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

Ahora, como se señaló en la pregunta, por un cambio de escala, lo que implicaría que la distribución de interés tiene la densidad que lo convierte en Beta

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z \propto w^{2 (α - 1) + 1} = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) \propto w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$ distribución reescalada en , por lo tanto con densidad

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

Esto viene como una contradicción al considerar el respuesta increíblemente detallada de W. Huber , ya que los Uniformes son Beta . Y dado que la suma de dos Uniformes no es una variable aleatoria Beta , sino un rv con densidad "carpa". ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

Aparte: más generalmente, una suma de variantes Beta no es otra variante Beta, la "explicación" es sencilla cuando se mira a Betas como dos Gammas normalizados por su suma. Agregar dos Betas ve diferentes sumas en el denominador.

El problema es, por lo tanto, con la derivación de la densidad de : ya que un cambio de variables conduce a y las restricciones del indicador son Por lo tanto, en conclusión, es decir (1) y no la expresión propuesta (2). $W=U+V$

(U, V) \sim 2 α β^{- 2} [u v]^{α - 1} I_{0 < u < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) \sim 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} I_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w and w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W \sim 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{max {0, w - β}}^{min {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z I_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

— Xi'an
fuente

Eso era lo que estaba preguntando si estaba de acuerdo con (1) o no. Probablemente también tenga que agregar las constantes que faltan en y . Gracias, no es de extrañar que obtuviera todos esos resultados extraños.

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

— StubbornAtom