Estimador imparcial y positivo para el cuadrado de la media

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Supongamos que tenemos acceso a las muestras iid de una distribución con media y varianza (desconocidas) verdaderas , y queremos estimar . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

¿Cómo podemos construir un estimador imparcial y siempre positivo de esta cantidad?

Tomar el cuadrado de la media muestral está sesgado y sobreestimará la cantidad, especialmente. si está cerca de 0 y es grande. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Esta es posiblemente una pregunta trivial, pero mis habilidades en Google me decepcionan, ya que estimator of mean-squaredsolo regresamean-squarred-error estimators

Si facilita las cosas, se puede suponer que la distribución subyacente es gaussiana.

Solución:

Es posible construir una estimación imparcial de ; ver la respuesta de knrumsey $\mu^2$
No es posible construir una estimación imparcial, siempre positiva de ya que estos requisitos están en conflicto cuando la media verdadera es 0; ver la respuesta de Winks $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Guiños
fuente

Quizás busque el estimador de la media al cuadrado o el estimador del cuadrado de la media en su lugar. Cuando leí tu título, también estaba confundido (al igual que Google), así que lo edité para hacerlo más intuitivo.

— Richard Hardy

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Tenga en cuenta que la muestra media también se distribuye normalmente, con media y varianza . Esto significa que $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Si lo único que le importa es una estimación imparcial, puede usar el hecho de que la varianza muestral es imparcial para . Esto implica que el estimador es imparcial para . $\sigma^2$

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$

μ^{2}

$\mu^2$

— Knrumsey
fuente

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\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

3

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@Winks Esa es la razón por la cual este es un ejemplo de un estimador imparcial absurdo .

— StubbornAtom

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

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$\mu^2$

Si la media verdadera es 0, el estimador debe esperar 0, pero no puede emitir números negativos, por lo tanto, tampoco está permitido emitir números positivos, ya que estaría sesgado. Por lo tanto, un estimador imparcial y siempre positivo de esta cantidad siempre debe devolver la respuesta correcta cuando la media es 0, independientemente de las muestras, lo que parece imposible.

$\mu^2$

— Guiños
fuente

2

Hay un artículo bastante antiguo de Jim Berger que establece este hecho, pero no puedo rastrearlo. El problema también aparece en Monte Carlo con estimadores de desvanecimiento como la ruleta rusa.

— Xi'an