¿Se conserva la estacionariedad bajo una combinación lineal?

Imagine que tenemos dos procesos de series temporales, que son estacionarios, produciendo: .$x_t,y_t$

¿Es , también estacionario?$z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Cualquier ayuda sería apreciada.

Yo diría que sí, ya que tiene una representación MA.

Quizás sorprendentemente, esto no es cierto. (Sin embargo, la independencia de las dos series de tiempo lo hará realidad).

Entiendo "estable" en el sentido de estacionario, porque esas palabras parecen usarse indistintamente en millones de resultados de búsqueda, incluido al menos uno en nuestro sitio .

Para un contraejemplo, supongamos que es una serie temporal estacionaria no constante para la cual cada es independiente de , y cuyas distribuciones marginales son simétricas alrededor de . Definir$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Estas gráficas muestran partes de las tres series de tiempo discutidas en esta publicación. se simuló como una serie de dibujos independientes de una distribución Normal estándar.$X$

Para mostrar que es estacionario, debemos demostrar que la distribución conjunta de para cualquier no depende de . Pero esto se deduce directamente de la simetría e independencia de . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Estos diagramas de dispersión rezagados (para una secuencia de 512 valores de ) ilustran la afirmación de que las distribuciones bivariadas conjuntas de son las esperadas: independientes y simétricas. (Un "diagrama de dispersión rezagado" muestra los valores de contra ; se muestran valores de ).$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Sin embargo, al elegir , tenemos$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

para incluso y de lo contrario$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Dado que no es constante, obviamente estas dos expresiones tienen distribuciones diferentes para cualquier y , por lo que la serie no es estacionaria. Los colores en la primera figura resaltan esta no estacionariedad en al distinguir los valores cero del resto.$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Considere el proceso bidimensional

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Si es estrictamente estacionario, o alternativamente, si los procesos y son conjuntamente estrictamente estacionarios , entonces un proceso formado por cualquier función medible también será estrictamente estacionario.$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

En el ejemplo de @ whuber tenemos

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Para examinar si este es estrictamente estacionario, primero debemos obtener su distribución de probabilidad. Suponga que las variables son absolutamente continuas. Para algunos , tenemos$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Siguiendo con el ejemplo de Whuber, las dos ramas son distribuciones de probabilidad diferentes porque tiene una distribución simétrica alrededor de cero. $x_t$

Ahora, para examinar la estacionariedad estricta, cambie el índice por un número entero . Tenemos$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Para una estacionariedad estricta, debemos tener

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

Y no tenemos esta igualdad , porque, digamos, si es par es impar, entonces es impar, en cuyo caso$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

mientras

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Por lo tanto, no tenemos una estacionariedad estricta conjunta , y luego no tenemos garantías sobre lo que sucederá con una función de . $f(x_t,y_t)$

Tengo que señalar que la dependencia entre y , es una condición necesaria pero no suficiente para la pérdida de la estacionariedad estricta conjunta. Es el supuesto adicional de dependencia de en el índice lo que hace el trabajo.$x_t$$y_t$$y_t$

Considerar

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Si uno hace el trabajo anterior para , encontrará que la estacionariedad estricta conjunta se mantiene aquí.$(q_t)$

Esta es una buena noticia porque para que un proceso dependa del índice y sea ​​estrictamente estacionario no se encuentra entre los supuestos de modelado que necesitamos hacer con mucha frecuencia. En la práctica, por lo tanto, si tenemos una estacionariedad estricta marginal, esperamos también una estacionariedad estricta conjunta incluso en presencia de dependencia (aunque, por supuesto, deberíamos comprobarlo).

Yo diría que sí, ya que tiene una representación MA.

Una observación Creo que tener una representación MA implica una estacionariedad débil, no estoy seguro de si implica una fuerte estacionariedad.