Punto técnico sobre convergencia con expectativa condicional

Tengo una secuencia de variables no negativas. $X_n$ como:

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

dónde $C_n$ es una secuencia de variables aleatorias que convergen casi seguramente $1$ .

Puedo concluir $X_n$ tiende a 0 casi seguro?

Nota: puedes reemplazar $\frac{1}{n^2}$ por cualquier secuencia con suma finita. La pregunta sigue siendo esencialmente la misma y la respuesta proporcionada por Jason funciona igual (ver el argumento Borel-Cantelli).

probability convergence conditional-expectation

— Benoit Sanchez
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Si, $X_{n} \to 0$ casi seguro El argumento que tengo es un poco complicado, así que tengan paciencia conmigo.

Primero, considera los eventos $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ . Por la casi segura convergencia de la $C_{n}$ resulta que $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ , y desde $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ tenemos $P(F_{k}) \to 0$ . Entonces es suficiente demostrar que $X_{n} \to 0$ como dentro $F_{k}^{c}$ , para cualquier $k$ .

Ahora arregla un $k$ y un $\varepsilon > 0$ . Usando la notación $E[X; A]$ representar $E[X 1_{A}]$ , tenemos para $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$ Esta es la parte clave. (Tenga en cuenta también que utilizamos la no negatividad de

X_{n}

$X_{n}$ en el primer paso, pasar de

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$ para el evento más grande

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$ .) A partir de aquí solo necesitamos algunos argumentos teóricos de medida bastante comunes.

El límite anterior, junto con la no negatividad de $X_{n}$ , implica que $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ (para $n \geq k$ ), así que eso

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

Por el lema de Borel-Cantelli ahora podemos decir que el evento

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$ tiene probabilidad cero. Ya que

ε

$\varepsilon$ fue arbitrario, esto nos lleva

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$ un hijo

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$ .

— Jason
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Esto podría modificarse ligeramente para mostrar que para cualquier exponente

α

$\alpha$ en

n

$n$ tal que

α > 1

$\alpha > 1$ ,

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$ , me parece.

— jbowman

Muchas gracias. Por

E (X; A)

$E(X;A)$ Quiere decir

E (X | A)

$E(X|A)$ o

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$ ?

— Benoit Sanchez

Quiere decir

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$ :-) Tal vez deberías mencionarlo. Todo me parece correcto, ¡genial! Honestamente, no creo que haya una prueba más simple.

— Benoit Sanchez

Bien, Benoit, quise decir

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$ . Haré una edición para aclarar eso.

— Jason

Conjunto $Z_n=X_n/C_n$ . Entonces $E[Z_n]=1/n^2$ y $Z_n\ge 0$ . Por la desigualdad de Markov, $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ que tiene suma finita, así que por Borel Cantelli, $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ y $Z_n\to 0$ casi seguro

Si $Z_n\to0$ casi seguro y $C_n\to 1$ casi seguro entonces $X_n=Z_nC_n\to 0$ casi seguro

— jlewk
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