¿Las variables aleatorias siguen las mismas reglas algebraicas que los números ordinarios?

En los comentarios sobre mi respuesta a una pregunta reciente sobre la suma de variables aleatorias , me encontré con un enlace al artículo de Wikipedia sobre la distribución de razones , y noté la siguiente afirmación peculiar allí:

Las reglas algebraicas conocidas con números ordinarios no se aplican al álgebra de variables aleatorias. Por ejemplo, si un producto es y una relación es , no significa necesariamente que las distribuciones de y sean las mismas. $C = AB$ $D=C/A$ $D$ $B$

Este reclamo ha estado en el artículo desde 2007 . Fue agregado allí por el mismo editor de buena reputación que originalmente creó el artículo y contribuyó con gran parte de su contenido original y actual, y aparentemente se cita en el libro The Algebra of Random Variables de Melvin D. Springer, publicado en 1979 (aunque es no está 100% claro si el marcador de citas que aparece más adelante en el mismo párrafo también está destinado a cubrir este reclamo).

Obviamente, la afirmación me parece una tontería. Podría editarlo del artículo de Wikipedia, pero dado que no ha sido cuestionado allí durante más de 10 años, pensé que debería asegurarme de que no soy yo quien se equivoca aquí. Al no tener el libro de Springer a la mano para verificar la (posible) cita, pensé que pediría ayuda a los expertos aquí. En particular, dado que el reclamo como se indica realmente consta de dos partes, también lo hace mi pregunta:

Parte 1: ¿Las variables aleatorias siguen las mismas reglas algebraicas que los números ordinarios, o no (en algún sentido)? Si no lo hacen, ¿cómo difieren las reglas? ¿Depende de qué formalismo (generalmente aceptado) se adopte?

Parte 2: está claro que, incluso para números ordinarios, no siempre es igual a , ya que ni siquiera se define cuando . ¿Es esta diferencia trivial la única forma en que y pueden dejar de ser iguales, incluso cuando son variables aleatorias? En particular, ¿se cumple siempre la siguiente declaración para variables aleatorias (de valor real o complejo): $D = \frac{AB}{A}$ $B$ $D$ $A = 0$ $D$ $B$

A \neq 0 ⟹ \frac{A B}{A} = B .

$A \ne 0 \implies \frac{AB}{A} = B.$

Parte 3 (bonificación): ¿Qué dice realmente el libro de Springer sobre esto? ¿Es, como supongo, realmente considerado como una fuente confiable de afirmaciones sobre las matemáticas y estadísticas convencionales?

— Ilmari Karonen
fuente

Un comentario matemático sobre la Parte 2: siempre es el caso que cuando se define , es decir, ¡no es la ecuación el problema sino la mera definición! En ese sentido, suponga que es un RV tal que para todos . Entonces y tienen la misma distribución simplemente porque son la misma variable aleatoria. Una variable aleatoria es simplemente una función de algún espacio de probabilidad en cualquier conjunto (los reales si quieres hacer este tipo de álgebra en un entorno natural con él) ... También: ¿Qué quieres decir exactamente con ? para todos

a b / b = a

$ab/b = a$

B

$B$

B (ω) \neq 0

$B(\omega) \neq 0$

ω

$\omega$

A B / B

$AB/B$

B

$B$

Ω

$\Omega$

A \neq 0

$A \neq 0$

ω

$\omega$ ? ¿Solo para algunos? ...

— Fabian Werner

(+1) El lenguaje en ese artículo de Wikipedia es pobre, pero su intención es clara: significa discutir el álgebra de las distribuciones, no las variables aleatorias per se. Si elige editarlo, considere aclarar el idioma sin cambiar la idea que está tratando de transmitir.

— whuber

@FabianWerner: estoy usando la convención (bastante estándar de AFAIK) de que podemos omitir al escribir el rv , pero por supuesto eso puede no ser lo que está haciendo el artículo de Wikipedia. Puede que estés en algo allí.

(ω)

$(\omega)$

A (ω)

$A(\omega)$

— Ilmari Karonen

@Carl: ¿Por qué crees que serían vectores de cualquier tipo? La división por un vector generalmente no se define de todos modos, por lo que para que la expresión tenga sentido, tiene que ser un escalar (o más precisamente una función escalar del espacio de probabilidad, si desea seguir estrictamente el formalismo estándar) como lo señaló Fabian Werner arriba). Supongo que podría ser un vector, aunque no veo ninguna razón particular para suponer que lo sea.

A

$A$

B

$B$

— Ilmari Karonen

@Carl: Uh, no. Al menos no a menos que esté trabajando en un espacio de probabilidad de tres elementos (generalmente, los elementos o incluso el tamaño del espacio de probabilidad no se especifican explícitamente, ya que en realidad es solo una herramienta formal para trabajar con variables cuyos valores son inciertos ) y están usando una notación divertida para funciones en ese espacio.

Ω

$\Omega$

— Ilmari Karonen

El álgebra de variables aleatorias (ARV) es una extensión del álgebra habitual de números "álgebra de secundaria". Esto debe ser así porque los números pueden incrustarse en el ARV como rv igual a una constante con probabilidad 1. Por lo tanto, no puede haber ninguna inconsistencia, pero bien podrían ser nuevas propiedades que no dicen nada sobre los números. En el ARV, la igualdad es igualdad en la distribución , por lo que es realmente un álgebra de distribuciones. Pero para la constante de rv con probabilidad 1, esta es una extensión de la igualdad de números en el sentido habitual.

Sobre el ejemplo dado de Wikipedia, no hay inconsistencia allí, solo surge una posibilidad sorprendente (tal vez para alguien) porque hay muchas variables aleatorias tales como y tienen la misma distribución, mientras que solo hay dos números con esta propiedad, y 1. La distribución de Cauchy tiene esta propiedad, vea ¿Qué podemos decir sobre las distribuciones de variables aleatorias tales que y su inverso tienen la misma distribución? . $X$ $X^{-1}$ $-1$ $X$ $X$ $1/X$

— kjetil b halvorsen
fuente