¿Se aplica el principio de indiferencia a la paradoja de Borel-Kolmogorov?

Considere la solución de Jaynes a la paradoja de Bertrand utilizando el principio de indiferencia . ¿Por qué no se aplica un argumento similar a la paradoja de Borel-Kolmogorov ?

¿Hay algo de malo en argumentar que, dado que el problema no especifica una orientación para la esfera, la rotación de la esfera no debería afectar la distribución resultante a la que llega el proceso limitante elegido?

theory paradox

— Neil G
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Dado que este es un argumento no matemático, ¡siempre puedes usarlo! ¡Y siempre encuentra a alguien discutiendo en contra ...!

— Xi'an

Además, no creo que el argumento de Jaynes cierre el debate sobre la paradoja de Bertrand: hay un número infinito de formas físicas de dibujar líneas al azar, como se discutió en esta publicación mía .

— Xi'an

¿Notaste cómo ese artículo de Wikipedia realmente cita a Jaynes en la paradoja de BK? "... el término 'gran círculo' es ambiguo hasta que especifiquemos qué operación limitante es producirlo. El argumento de simetría intuitiva presupone el límite ecuatorial; sin embargo, una rodaja de naranja puede presuponer la otra". Me parece que esto responde a tu pregunta.

— whuber

@whuber: Supuse que eso significaba que el que hacía la pregunta tenía que especificar el proceso de limitación. No pensé que significara que el principio de indiferencia pudiera usarse para forzar una elección única en el proceso limitante. ¿Es así como ves la declaración?

— Neil G

@whuber: Lol :) Está bien, bueno, todavía estoy tratando de entenderlo. Jaynes escribe que el principio de máxima entropía y los antecedentes de Jeffreys son extensiones del principio de indiferencia, y eso me convence bastante. Entonces, parece que hay algo interesante aquí.

— Neil G

Respuestas:

Por un lado, tenemos una comprensión pre-teórica e intuitiva de la probabilidad. Por otro lado, tenemos la axiomatización formal de probabilidad de Kolomogorov.

El principio de indiferencia pertenece a nuestra comprensión intuitiva de la probabilidad. Creemos que cualquier formalización de probabilidad debería respetarla. Sin embargo, como notará, nuestra teoría formal de la probabilidad no siempre hace esto, y la paradoja de Borel-Komogorov es uno de los casos en los que no lo hace.

Entonces, esto es lo que creo que realmente está preguntando: ¿cómo resolvemos el conflicto entre este atractivo principio intuitivo y nuestra teoría moderna de la probabilidad teórica de la medida?

Uno podría ponerse del lado de nuestra teoría formal, como lo hacen la otra respuesta y los comentaristas. Afirman que, si elige el límite del ecuador en la paradoja de Borel-Kolmogorov de cierta manera, el principio de indiferencia no se cumple , y nuestras intuiciones son incorrectas.

Esto me parece insatisfactorio. Creo que si nuestra teoría formal no capta esta intuición básica y obviamente verdadera, entonces es deficiente. Deberíamos tratar de modificar la teoría, no rechazar este principio básico.

Alan Hájek, un filósofo de la probabilidad, ha tomado esta posición y lo argumenta convincentemente en este artículo . Aquí se puede encontrar un artículo más extenso sobre la probabilidad condicional , donde también analiza algunos problemas clásicos, como la paradoja de los dos sobres.

— Patata
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No entiendo el punto del "principio de indiferencia". La respuesta del artículo de Wikipedia es mejor: "Las probabilidades pueden no estar bien definidas si el mecanismo o método que produce la variable aleatoria no está claramente definido". En otras palabras, sin siquiera restringirnos a las preguntas de probabilidad, "una pregunta ambigua planteada no tiene una sola respuesta inequívoca".

— Emil Friedman
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Gracias por tu respuesta. ¿Leíste la defensa de Jaynes del principio de indiferencia? E. Jaynes, "¿Dónde nos encontramos en la máxima entropía?" R. Levine y M. Tribus, Eds. The MIT Press, 1979, págs. 15-118.

— Neil G