¿Por qué no usamos la media aritmética ponderada en lugar de la media armónica?

Me pregunto cuál es el valor intrínseco del uso de la media armónica (por ejemplo, para calcular las medidas F), en oposición a la media aritmética ponderada al combinar precisión y recuperación. Estoy pensando que el promedio aritmético ponderado podría desempeñar el papel de media armónica, ¿o me estoy perdiendo algo?

— olga
fuente

La media armónica es una media aritmética ponderada: cada

tiene un peso proporcional a

x_{i}

$x_i$

1 / x_{i}^{2}

$1/x_i^2$

— whuber

¿Puedes decir más sobre cómo la precisión y el recuerdo se combinan de esta manera?

— AdamO

@whuber No estoy seguro si tu comentario es serio o irónico. Por lo general, se supone que los pesos son una función del índice de la muestra , no del valor de la muestra . De lo contrario, cualquier media es una media aritmética ponderada

— Luis Mendo

@Luis La verdad está en el medio. El índice de muestra a menudo no tiene sentido. Los pesos son funciones de los objetos, pero esas funciones generalmente no dependen de los valores promediados. Algunos ejemplos son los pesos asociados con los tiempos (EWMA), la ubicación (como en las medidas de correlación espacial), el rango (como en la prueba de Shapiro-Wilk) y las probabilidades de muestreo. Pero no todos los medios son AM ponderados: el GM no lo es, por ejemplo. Como Filippa pregunta por el "valor intrínseco", parecía pertinente señalar la relación matemática entre la media armónica y las medias ponderadas.

— whuber

Respuestas:

En general, se prefieren los medios armónicos cuando se intenta promediar tasas, en lugar de números enteros. En el caso de una medida F1, una media armónica penalizará precisiones o recordatorios muy pequeños, mientras que la media aritmética no ponderada no lo hará. Imagine promediar 100% y 0%: la media aritmética es 50% y la media armónica es 0%. La media armónica requiere que tanto la precisión como el recuerdo sean altos.

Además, cuando la precisión y la recuperación están juntas, la media armónica estará cerca de la media aritmética. Ejemplo: la media armónica del 95% y el 90% es del 92,4% en comparación con la media aritmética del 92,5%.

Si esta es una propiedad deseable probablemente depende de su caso de uso, pero generalmente se considera buena.

Finalmente, tenga en cuenta que, como dijo @whuber en los comentarios, la media armónica es de hecho una media aritmética ponderada.

— ilanman
fuente

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

80

$80$

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

90

$90$

De hecho, el primer párrafo es más una declaración general sobre la media armónica. Pero tienes razón, la precisión y el recuerdo son fracciones y no tasas. Creo que existe la noción de que se prefiere un promedio aritmético para los valores que tienen una suma interpretable (que no se aplicaría en este caso), pero ciertamente se puede tomar un promedio aritmético de precisión y recuperación y obtener un resultado útil.

— ilanman

¡Excelente! Estoy más buscando "justificaciones" para usar la regla de promedio armónico. Pero no estoy seguro de cómo pensar en las justificaciones ..

— olga

$\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[1/X]$

f (x) = \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 1}} I_{x \geq x_{0}}

$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$

α \leq 1

$\alpha\le 1$

E [1 / X] = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 2}} d x = \frac{α x_{0}^{α}}{(α + 1) x_{0}^{α + 1}} = \frac{α}{(α + 1) x_{0}}

$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$

$\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ $\alpha\le1$

E [\frac{φ (θ)}{π (θ) L (θ | x)} | x] = \frac{1}{m (x)}

$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$

φ (\cdot)

$\varphi(\cdot)$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

L (\cdot | x)

$L(\cdot|x)$

m (\cdot)

$m(\cdot)$

— Xi'an
fuente

¿Por qué son preferibles estas propiedades cuando se promedian las tasas?

— Walrus the Cat

No conozco los resultados de optimización, ¡pero tener un estimador con una expectativa finita parece preferible a uno sin él!

— Xi'an