¿Puede una distribución conjunta 3D ser reconstruida por marginales 2D?

Supongamos que sabemos p (x, y), p (x, z) y p (y, z), ¿es cierto que la distribución conjunta p (x, y, z) es identificable? Es decir, ¿solo hay una posible p (x, y, z) que tiene márgenes superiores?

distributions mathematical-statistics

— usuario1466742
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Relacionado: ¿Es posible tener un par de variables aleatorias gaussianas para las cuales la distribución conjunta no es gaussiana? (Que pertenece a la articulación 2D vs marginales 1D, pero la respuesta y la intuición es en última instancia el mismo, además de las imágenes de @ respuesta del cardenal son hermosas.)

— Gung - Restablecer Mónica

@gung La relación es algo remota. La sutileza detrás de esta pregunta es el pensamiento de que una cópula nos muestra cómo desarrollar distribuciones bivariadas con marginales dados. Pero si especificamos tres marginales bivariados para una distribución trivariada, debe haber restricciones adicionales bastante severas en esa distribución trivariada: los marginales univariados deben ser consistentes. La pregunta entonces es si estas restricciones son suficientes para precisar la distribución trivariada. Esto lo convierte en una pregunta inherentemente más que bidimensional.

— whuber

@whuber, entiendo que digas que los marginales 2D son más restrictivos que los marginales 1D, lo cual es razonable. Mi punto es que tanto en la respuesta es que los marginales no pueden limitar suficientemente la distribución conjunta, y que la respuesta de Cardinal allí hace que el problema sea muy fácil de ver. Si crees que esto es una gran distracción, puedo eliminar estos comentarios.

— gung - Restablece a Monica

@gung Estoy tratando de decir algo completamente diferente y no es fácil de ver (a menos que seas muy bueno en visualizaciones 3D). ¿Recuerdas la imagen de portada de Hofstadter's Godel, Escher, Bach ? (Google lo encuentra fácilmente; quizás amplíe mi respuesta para incluirlo). La existencia de esos dos sólidos diferentes con conjuntos idénticos de proyecciones en los ejes de coordenadas es bastante sorprendente. Esto captura la idea de que un conjunto completo de "vistas" ortogonales en 2D de un objeto 3D no necesariamente determina el objeto. Ese es el quid de la cuestión.

— whuber

@Gung me permite intentarlo una vez más. Sí, la idea de que los marginales no determinan completamente una distribución es común en ambos casos. La complicación en esta, la que creo que lo hace tan diferente de la otra, es que los marginales en la situación actual no son en modo alguno independientes: cada marginal 2D determina dos marginales 1D , así como una fuerte relación entre ellos. marginales Conceptualmente, entonces, esta pregunta podría reformularse como "¿por qué las dependencias en los marginales 2D no son " transitivas "o" acumulativas "en el sentido de determinar la distribución 3D completa?"

— whuber

Respuestas:

No. Tal vez las preocupaciones contraejemplo más simples la distribución de tres independiente las variables , para el cual los ocho posibles resultados de a través de son igualmente probables. Esto hace que las cuatro distribuciones marginales sean uniformes en . $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Considere las variables aleatorias que se distribuyen uniformemente en el conjunto . Estos tienen los mismos que . $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ $(X_1,X_2,X_3)$

La portada de Godel, Escher, Bach de Douglas Hofstadter sugiere las posibilidades.

Las tres proyecciones ortogonales (sombras) de cada uno de estos sólidos en los planos de coordenadas son las mismas, pero los sólidos obviamente difieren. Aunque las sombras no son exactamente lo mismo que las distribuciones marginales, funcionan de manera bastante similar para restringir, pero no determinar por completo , el objeto 3D que las proyecta.

— whuber
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+1 por supuesto, pero si no recuerdo mal, el vuelve a Bernstein y quizás incluso antes. Lo he usado extensamente en el pasado para discutir la puerta lógica Exclusivo-OR donde los eventos en los que las entradas son 1 y la salida es 1 son eventos independientes por pares (para entradas igualmente propensas a ser 0 o 1) pero no son mutuamente independientes eventos

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— Dilip Sarwate

En el mismo espíritu que la respuesta de Whuber,

Considere las variables aleatorias conjuntas continuas con la función de densidad conjunta donde denota la función de densidad normal estándar. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & F_{U, V, W} (tu, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (tu) ϕ (v) ϕ (w) & Si tu \geq 0 0, v \geq 0 0, w \geq 0 0, \\ o si tu < 0 0, v < 0 0, w \geq 0 0, \\ o si tu < 0 0, v \geq 0 0, w < 0 0, \\ o si tu \geq 0 0, v < 0 0, w < 0 0, \\ 0 0 & de otra manera \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Está claro que y son variables aleatorias dependientes . También es claro que son no de forma conjunta las variables aleatorias normales. Sin embargo, los tres pares son variables aleatorias independientes por pares : de hecho, variables aleatorias normales estándar independientes (y, por lo tanto, variables aleatorias normales por parejas). En resumen, son un ejemplo de variables aleatorias normales estándar independientes entre pares pero no independientes entre sí. Vea esta respuesta mía para más detalles. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Por el contrario, si son variables aleatorias normales estándar mutuamente independientes, entonces también son variables aleatorias independientes por pares, pero su densidad conjunta es $X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$ que no es lo mismo que la densidad conjunta en . Por lo tanto, NO, no podemos deducir el pdf conjunto trivariado de los pdf bivariados incluso en el caso en que las distribuciones univariadas marginales son normales estándar y las variables aleatorias son independientes por pares.

(1)

$(1)$

— Dilip Sarwate
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Básicamente, se pregunta si la reconstrucción CAT es posible utilizando solo imágenes a lo largo de los 3 ejes principales.

No es ... de lo contrario, eso es lo que harían. :-) Ver la transformación de radón para más literatura.

— usuario541686
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Me gusta la analogía. Sin embargo, hay dos aspectos preocupantes. Una es la lógica: el hecho de que la transformación de radón (o alguna otra técnica) use más datos que los tres marginales no implica lógicamente que realmente necesite todos esos datos. Otro problema es que las tomografías computarizadas son inherentemente bidimensionales: reconstruyen un cuerpo sólido corte por corte. (Es cierto que la transformación de radón se define en tres y más dimensiones). Por lo tanto, no llegan realmente al meollo del asunto: ya sabemos que los marginales univariados no son suficientes para reconstruir una distribución 2D.

— whuber

@whuber: Creo que entendiste mal lo que estaba diciendo ... y el 2D vs 3D es una pista falsa. Estaba tratando de decir que el inverso de la transformación de radón requiere la integral completa para su inversión (es decir, si literalmente solo mira la fórmula de inversión, verá que la inversión requiere una integral sobre todos los ángulos, no una suma sobre d ángulos). La tomografía computarizada fue solo para ayudar al OP a ver que es el mismo problema que la TC.

— user541686

Ahí es donde se rompe la lógica: no es el mismo problema que el CT. Su argumento suena como un análogo de "cada vehículo que veo en la carretera usa al menos cuatro ruedas. Por lo tanto, el transporte terrestre con menos de cuatro ruedas es imposible, ya que si fuera posible, la gente estaría usando menos ruedas para ahorrar costos de neumáticos. Si dudas de esto, solo mira los planos de un auto ". Por cierto, la transformación implementada en un escáner CT no se integra en todos los ángulos: ¡la medida del conjunto de ángulos que utiliza es cero!

— whuber

@whuber: Olvídate de la cosa CT por un momento. ¿Estás de acuerdo con el resto de la lógica?

— user541686