Ejemplo de kriging ordinario paso a paso?

He seguido tutoriales en línea para kriging espacial con ambos geoRy gstat(y también automap). Puedo realizar kriging espacial y entiendo los conceptos principales detrás de él. Sé cómo construir un semivariograma, cómo ajustarle un modelo y cómo realizar kriging ordinario.

Lo que no entiendo es cómo se determinan los pesos de los valores medidos circundantes. Sé que derivan del semivariograma y dependen de la distancia desde la ubicación de predicción y de la disposición espacial de los puntos medidos. ¿Pero cómo?

¿Alguien podría hacer un modelo ordinario de kriging (no bayesiano) con 3 puntos medidos al azar y 1 lugar de predicción? Sería esclarecedor.

Primero describiré kriging ordinario con tres puntos matemáticamente. Supongamos que tenemos un campo aleatorio intrínsecamente estacionario.

Kriging ordinario

Estamos tratando de predecir el valor. $Z(x_0)$ utilizando los valores conocidos $Z=(Z(x_1),Z(x_2),Z(x_3))$ La predicción que queremos es de la forma

$$\hat Z(x_0) = \lambda^T Z$$ dónde $\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$son los pesos de interpolación. Asumimos un valor medio constante$\mu$. Para obtener un resultado imparcial, arreglamos$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$. Entonces obtenemos el siguiente problema: $$\text{min} \; E(Z(X_0) - \lambda^T Z)^2 \quad \text{s.t.}\;\; \lambda^T \mathbf{1} = 1.$$ Usando el método multiplicador de Lagrange, obtenemos las ecuaciones: $$\sum^3_{j=1} \lambda_j \gamma(x_i - x_j) + m = \gamma(x_i - x_0),\;\; i=1,2,3,$$ $$\sum^3_{j=1} \lambda_j =1 ,$$ dónde $m$ es el multiplicador lagrange y $\gamma$es el (semi) variograma. De esto, podemos observar un par de cosas:

• Los pesos no dependen del valor medio. $\mu$.
• Los pesos no dependen de los valores de $Z$en absoluto. Solo en las coordenadas (en el caso isotrópico solo en la distancia)
• Cada peso depende de la ubicación de todos los demás puntos.

El comportamiento preciso de los pesos es difícil de ver solo a partir de la ecuación, pero uno puede decir más o menos :

• Cuanto más lejos esté el punto de $x_0$, cuanto menor sea su peso ("más" con respecto a otros puntos).
• Sin embargo, estar cerca de otros puntos también reduce el peso.
• El resultado depende mucho de la forma, el rango y, en particular, el efecto de pepita del variograma. Sería muy esclarecedor considerar el kriging en$\mathbb R$ con solo dos puntos y vea cómo cambia el resultado con diferentes configuraciones de variograma.

Sin embargo, me enfocaré en la ubicación de los puntos en un plano. Escribí esta pequeña función R que toma puntos de$[0,1]^2$ y traza los pesos de kriging (para la función de covarianza exponencial con nugget cero).

library(geoR)

# Plots prediction weights for kriging in the window [0,1]x[0,1] with the prediction point (0.5,0.5)
drawWeights <- function(x,y){
 df <- data.frame(x=x,y=y, values = rep(1,length(x)))
  data <- as.geodata(df, coords.col = 1:2, data.col = 3)

  wls <- variofit(bin1,ini=c(1,0.5),fix.nugget=T)
  weights <- round(as.numeric(krweights(data$coords,c(0.5,0.5),krige.control(obj.mod=wls, type="ok"))),3)

  plot(data$coords, xlim=c(0,1),  ylim=c(0,1))
  segments(rep(0.5,length(x)), rep(0.5,length(x)),x, y, lty=3 )
  text((x+0.5)/2,(y+0.5)/2,labels=weights)
}

Puedes jugar con él utilizando la clickpppfunción de spatstat :

library(spatstat)
points <- clickppp()
drawWeights(points$x,points$y)

Aquí hay un par de ejemplos

Puntos equidistantes de $x_0$ y el uno del otro

deg <- seq(0,2*pi,length.out=4)
deg <- head(deg,length(deg)-1)
x <- 0.5*as.numeric(lapply(deg, cos)) + 0.5
y <- 0.5*as.numeric(lapply(deg, sin)) + 0.5
drawWeights(x,y)

Los puntos cercanos entre sí compartirán los pesos

deg <- c(0,0.1,pi)
x <- 0.5*as.numeric(lapply(deg, cos)) + 0.5
y <- 0.5*as.numeric(lapply(deg, sin)) + 0.5
drawWeights(x,y)

Punto cercano "robando" las pesas

deg <- seq(0,2*pi,length.out=4)
deg <- head(deg,length(deg)-1)
x <- c(0.6,0.5*as.numeric(lapply(deg, cos)) + 0.5)
y <- c(0.6,0.5*as.numeric(lapply(deg, sin)) + 0.5)
drawWeights(x,y)

Es posible obtener pesos negativos.

Espero que esto te dé una idea de cómo funcionan los pesos.