Me he preguntado sobre esta pregunta pero nunca llegué con una solución satisfactoria.
Una propiedad que es de posible uso es que, si una densidad escribe
donde g es una densidad tal que g ( x ) ≥ ω h ( x ) , simulando de g y rechazar estas simulaciones con probabilidad ω h ( x ) / g ( x ) proporciona simulaciones de f . En el caso actual, g es la versión normalizada de los componentes de peso positivo
g ( x ) = ∑ α i > 0 α i
F( x ) = g( x ) - ω h ( x )1 - ωω > 0
solsol( x ) ≥ ω h ( x )solω h ( x ) / g( x )Fsol
y
ω h es el resto
h ( x ) = ∑ α i < 0 α i f i ( x ) / ∑ α i < 0 α i
Esto de hecho se encuentra en el Biblia de simulación de Devroye,
Generación de variables aleatorias no uniformes, Sección II.7.4, pero se sigue de un simple razonamiento de aceptación-rechazo.
sol( x ) = ∑αyo> 0αyoFyo( x ) / ∑αyo> 0αyo
ω hh ( x ) = ∑αyo< 0αyoFyo( x ) / ∑αyo< 0αyo
Un primer inconveniente de cálculo de este enfoque es que, a pesar de la simulación de primera partir de un componente elegido , las sumas en tanto g y h se debe calcular para la etapa de rechazo. Si las sumas son infinitas sin una versión de forma cerrada, esto hace que el método de aceptación-rechazo sea imposible de implementar .Fyosolh
Una segunda dificultad es que, dado que ambas sumas de pesos son del mismo orden
la tasa de rechazo 1 - ϱ aceptar = ∑ α i < 0 | α i | / ∑ i | α i | No tiene límite superior. En realidad, si la serie asociada con las α i no es absolutamente convergente, ¡la probabilidad de aceptación es cero!
∑αyo> 0αyo= 1 - ∑αyo< 0αyo
1 - ϱaceptar= ∑αyo< 0El | αyoEl | / ∑yoEl | αyoEl |
αyo Y el método no se puede implementar en esta situación.
En el caso de una representación mixta, si puede escribirse como
f ( x ) = ∞ ∑ i = 1 α i g i ( x ) - ω i h ( x i )F el componente se puede elegir primero y luego el método aplicado al componente. Pero esto puede ser delicado de implementar, ya que identificar pares ( g i , h i ) que se ajustan a g i ( x ) - ω i h ( x i ) > 0 de la suma posiblemente infinita no es necesariamente factible.
F( x ) = ∑i = 1∞αyosolyo( x ) - ωyoh ( xyo)1 - ωyoωyo> 0
( gyo, hyo)solyo( x ) - ωyoh ( xyo) > 0
F( x ) = κ h ( x ) { 1 - a1( x ) + a2( x ) - ⋯ }
unayo( x )norteh
El problema se ha considerado recientemente en el contexto de estimadores sesgados para MCMC, como por ejemplo en el enfoque de Glynn-Rhee . Y el estimador de la ruleta rusa (con una conexión con el problema de fábrica de Bernoulli). Y la metodología imparcial de MCMC . Pero no hay escapatoria al problema de los signos ... Lo que dificulta su uso al estimar densidades como en los métodos pseudo-marginales.
Después de pensarlo más, mi conclusión es que no existe un método genérico para producir una simulación real de esta serie [en lugar de una
mezcla que resulte ser un nombre inapropiado], sin imponer una estructura adicional a los elementos de la serie, como el de el algoritmo anterior de la biblia de Devroye . De hecho, dado que la mayoría de las densidades (?) Permiten una expansión en serie del tipo anterior, esto implicaría la existencia de una especie de máquina de simulación universal ...