Para una intuición básica de la fórmula de probabilidad condicional, siempre me gusta usar una tabla de dos vías. Digamos que hay 150 estudiantes en un grupo de año, de los cuales 80 son mujeres y 70 hombres, cada uno de los cuales debe estudiar exactamente un curso de idiomas. La tabla bidireccional de estudiantes que toman diferentes cursos es:
| French German Italian | Total
-------- --------------------------- -------
Male | 30 20 20 | 70
Female | 25 15 40 | 80
-------- --------------------------- -------
Total | 55 35 60 | 150
Dado que un estudiante toma el curso de italiano, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Bueno, el curso de italiano tiene 60 estudiantes, de los cuales 40 son mujeres que estudian italiano, por lo que la probabilidad debe ser:
PAGS( F | italiano ) = n ( F ∩ italiano )n ( italiano )= 4060 60= 23
donde es la cardinalidad del conjunto A , es decir, el número de elementos que contiene. Tenga en cuenta que necesitábamos usar n ( F ∩ italiano ) en el numerador y no solo n ( F ) , porque este último habría incluido a las 80 mujeres, incluidas las otras 40 que no estudian italiano.n ( A )UNAn ( F ∩ italiano )n(F)
Pero si la pregunta se voltea, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante tome el curso de italiano, dado que son mujeres? Luego, 40 de las 80 alumnas toman el curso de italiano, por lo que tenemos:
P(Italian|F)=n(Italian∩F)n(F)=4080=12
Espero que esto proporcione intuición de por qué
P(A|B)=n(A∩B)n(B)
Comprender por qué la fracción se puede escribir con probabilidades en lugar de cardinalidades es una cuestión de fracciones equivalentes . Por ejemplo, volvamos a la probabilidad de que un estudiante sea mujer dado que está estudiando italiano. Hay 150 estudiantes en total, por lo que la probabilidad de que un estudiante sea mujer y estudie italiano es 40/150 (esta es una probabilidad "conjunta") y la probabilidad de que un estudiante estudie italiano es 60/150 (esta es una probabilidad "marginal" ) Tenga en cuenta que dividir la probabilidad conjunta por la probabilidad marginal da:
P(F∩Italian)P(Italian)=40/15060/150=4060=n(F∩Italian)n(Italian)=P(F|Italian)
(Para ver que las fracciones son equivalentes, multiplicar el numerador y el denominador por 150 elimina el "/ 150" en cada uno).
En términos más generales, si su espacio de muestreo tiene cardinalidad n ( Ω ) , en este ejemplo la cardinalidad era 150, encontramos queΩn(Ω)
P(A|B)=n(A∩B)n(B)=n(A∩B)/n(Ω)n(B)/n(Ω)=P(A∩B)P(B)