Varianza de resistencias en paralelo.

10

Supongamos que tiene un conjunto de resistencias R, todas las cuales se distribuyen con media μ y varianza σ.

Considere una sección de un circuito con el siguiente diseño: (r) || (r + r) || (r + r + r). La resistencia equivalente de cada parte es r, 2r y 3r. La varianza de cada sección sería entonces $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

¿Cuál es la varianza en la resistencia de todo el circuito?

Después de muestrear varios millones de puntos, encontramos que la varianza es aproximadamente $.10286\sigma^2$ .

¿Cómo llegaríamos a esta conclusión analíticamente?

Editar: Se supone que los valores de resistencia se distribuyen normalmente con cierta resistencia media r y varianza $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
fuente

1

No estoy convencido de que este sea un modelo apropiado para empezar. ¿ Conoces la teoría de Nyquist-Johnson sobre el ruido del circuito térmico? Si estás haciendo algo diferente a propósito, sería interesante ver la motivación. De lo contrario, podría valer la pena considerar un modelo más estándar. :)

— cardenal

Sí, mientras escribía mi intento de respuesta también me di cuenta de que el modelo aparentemente no es manejable como se lo planteó. Sin embargo, pensé que esto se parecía más a un problema académico que a uno práctico (después de todo, están haciendo simulaciones).

— Néstor

Mis disculpas por tener sigma como variación, originalmente usé VAR y alguien lo editó en sigma.

— lrAndroid

Gracias por la actualización. Todavía estoy interesado en la motivación detrás de esta pregunta, si está dispuesto a agregar un poco sobre eso a su pregunta. :)

— cardenal

9

La resistencia equivalente de todo el circuito resuelve $R$ Se supone que

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

, para algunas variables aleatorias independientes

, centradas y con varianza

.

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Sin más indicaciones, no se puede calcular la varianza de , por lo tanto, para ir más allá, consideramos el régimen donde Entonces $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

ahí

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

donde

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

Uno ve que

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

Además,

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

tanto, en el límite

,

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$

y

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Estas asintóticas de

y

se pueden generalizar a cualquier cantidad de resistencias en paralelo, siendo cada una el resultado de

resistencias elementales en serie, siendo las resistencias elementales independientes y cada una con media

y varianza

. Entonces, cuando

,

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

donde

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Hizo
fuente

8

No creo que la respuesta exacta dependa solo de y $\mu$ $\sigma^2$ . Cuando tomaste muestras, supongo que debes haber usado alguna distribución concreta, ¿probablemente una distribución normal? En cualquier caso, podemos calcular la media y la varianza de la resistencia del circuito en aproximación lineal, y luego la forma exacta de la distribución es irrelevante.

La resistencia del circuito es . En aproximación lineal, la media y la varianza del recíproco de una variable aleatoria con media y varianza son y , respectivamente. Por lo tanto, tenemos una suma de términos con medias , y $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ , respectivamente, lo que suma una media de $1/(3\mu)$ y varianzas , y $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ y una varianza de $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . Luego, tomar el recíproco de eso produce una media de y una varianza de $\frac6{11}\mu$ , de acuerdo con su resultado. $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
fuente

Esto, por supuesto, supone que las resistencias son variables aleatorias independientes.

@Robert: Sí (las resistencias, más bien). Eso ya se supuso en el cálculo de las varianzas

,

y

en la pregunta, y tiene sentido físico (aunque si tomamos todas las resistencias del mismo lote de producción, sus resistencias estarán algo correlacionadas).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

En un diseño real, por supuesto, las resistencias están lejos de ser rvs independientes. De hecho, se dedica mucho trabajo al diseño para hacer que algunos grupos de elementos se rastreen entre sí (lo que se llama '' coincidencia '', como era de esperar).

1

¿Estás usando

? Estoy más acostumbrado a ver esto escrito como

.

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: Por supuesto, tienes toda la razón sobre

: adopté la notación utilizada en la pregunta sin pensar.

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

5

Esto depende de la forma de la distribución de la resistencia. Sin conocer la distribución, ni siquiera puedo decir la resistencia promedio, aunque creo que hay restricciones.

Por lo tanto, vamos a elegir una distribución que es tractible: Let sea la desviación estándar de la resistencia de un resistor. Deje que la resistencia sea , con cada señal que ocurre con con probabilidad . Esto nos da casos a considerar, o si combinamos algunos casos. Por supuesto asumiremos que las resistencias son independientes. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Si elegimos y entonces la media es (ligeramente inferior a $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ ), y la varianza es. Si elegimosy, entonces la varianza es. $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Aquí hay una expansión de la serie de potencias para las relaciones entre las variaciones cuando la media es y la variación es : $1$ $x$ . Cuandoes pequeño, el término dominante es $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ . $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Si bien la pregunta que hace técnicamente depende de la distribución, probablemente esté interesado en situaciones en las que la desviación estándar es pequeña en comparación con la media, y creo que hay un límite bien definido que no depende de la distribución. Linealice la dependencia de la resistencia del circuito en función de las resistencias de cada pieza:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Con este circuito específico, las derivadas parciales escaladas son y $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
fuente

1

Esto me recuerda al teorema delta multivariante, es decir,

tiene media

y varianza

respectivamente, luego

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

debe tener una varianza asintótica como

, donde

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

y

. La respuesta final es la misma que @Douglas Zare y OP, que es 0.1028

.

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

Advierto que, como lo razoné, esta es una respuesta larga , pero tal vez alguien pueda encontrar algo mejor a partir de mi intento (que puede no ser óptimo). Además, leí mal la pregunta del OP original y pensé que decía que las resistencias se distribuían normalmente. Dejaré la respuesta de todos modos, pero esa es una suposición subyacente.

1. Razonamiento físico del problema.

Mi razonamiento es el siguiente: recuerde que, para resistencias que están en paralelo, la resistencia equivalente viene dada por: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

donde son las resistencias de cada parte del circuito. En tu caso, esto nos da $R_i$

dondees la parte del circuito con 1 resistencia, y por lo tanto tiene una distribución normal con mediay varianza, y por el mismo razonamientoes la resistencia equivalente de la parte del circuito con dos resistencias y, finalmente,

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$ es la resistencia equivalente de la parte del circuito con tres resistencias. Debería encontrar la distribución de

y de allí obtener la varianza de la misma.

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Obtención de la distribución de $R_{eq}$

Una forma de encontrar la distribución es observando que:

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$ A partir de aquí, también observamos que podemos escribir

(que se obtuvo mediante el Teorema de Bayes), que, suponiendo una independencia entre

,

y

(que es físicamente plausible) , se puede escribir como

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

Reemplazando esto en

y observando que otra consecuencia de la independencia entre las tres resistencias es que

, obtenemos:

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$

Nuestro último problema es encontrar

, es decir, la distribución de rv

. Este problema es análogo al que encontramos aquí, excepto que ahora reemplaza

en la ecuación.

por una constante, digamos,

. Siguiendo los mismos argumentos que el anterior, puede encontrar que

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

es gaussiano, por lo tanto, esencialmente necesita encontrar la distribución de la variable aleatoria Aparentemente, el resto está reemplazando las distribuciones conocidas, excepto por un pequeño problema: la distribución de

se pueden obtener de

observando que

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$

donde

y

son constantes, y

es gaussiano con media

y varianza

. Si mis cálculos son correctos, esta distribución es:

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

donde,

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

entonces

la distribución de

sería

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

donde

y

. La cuestión es que no sé si esto es analíticamente manejable para resolver la integral en la ecuación

, lo que nos llevará a resolver el problema al reemplazar su resultado en la ecuación

. Al menos para mí a esta hora de la noche no lo es.

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
fuente

¿Está asumiendo una distribución normal, a pesar de que la resistencia no puede ser negativa? Supongo que esto hará que la variación del circuito sea divergente.

— Douglas Zare

1

Lo sé, eso también me molestó, pero en la práctica realmente depende de los valores de

y

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

Hmm, creo que modelar la altura como normal es tan malo que lo uso como ejemplo de una distribución que obviamente no es normal. Supongo que no sería terrible si tienes una población de hombres adultos sanos del mismo origen genético. Sin embargo, me gustaría saber de un biólogo que esto está bien. El razonamiento que he escuchado con demasiada frecuencia de que el tamaño de cada hueso es independiente es una tontería total.

— Douglas Zare

Me acabo de dar cuenta de que las resistencias no se distribuían normalmente (podría jurar que las leí en la respuesta original de los OP, pero creo que fue solo mi imaginación).

— Néstor