¿Cuál es el fundamento de la función de covarianza de Matérn?

La función de covarianza de Matérn se usa comúnmente como función de núcleo en el proceso gaussiano. Se define así

$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}}$$

donde $d$ es una función de distancia (como la distancia euclidiana), $\Gamma$ es la función gamma, $K_\nu$ es la función de Bessel modificada del segundo tipo, $\rho$ y $\nu$ son parámetros positivos. $\nu$ es mucho tiempo elegido para ser $\frac{3}{2}$ o$\frac{5}{2}$ en la práctica.

Muchas veces este kernel funciona mejor que el kernel gaussiano estándar, ya que es 'menos suave', pero excepto eso, ¿hay alguna otra razón por la que uno preferiría este kernel? Alguna intuición geométrica sobre cómo se comporta, o alguna explicación de la fórmula aparentemente críptica sería muy apreciada.

Además de la buena respuesta de @DahnJahn, pensé que trataría de decir un poco más sobre el origen de las funciones Bessel y gamma. Un punto de partida para llegar a la función de covarianza es el teorema de Bochner.

Teorema (Bochner) Una función estacionaria continua es positiva definida si y solo si ˜ k es la transformada de Fourier de una medida positiva finita: ˜ k ( t ) = ∫ R e - i ω t d µ ( ω$k(x, y) = \widetilde{k}(|x − y|)$$\widetilde{k}$

$$\widetilde{k}(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{−iωt}dµ(ω)$$

De esto se puede deducir que la matriz de covarianza de Matérn se deriva como la transformada de Fourier de (Fuente). Eso está bien, pero en realidad no nos dice cómo se llega a esta medida positiva finita dada por$\frac{1}{(1+\omega^2)^p}$ . Bueno, es la densidad espectral (potencia) de un proceso estocásticof(x).$\frac{1}{(1+\omega^2)^p}$$f(x)$

¿Qué proceso estocástico? Se sabe que un proceso aleatorio en con una función de covarianza de Matérn es una solución a la ecuación diferencial parcial estocástica (SPDE) ( κ 2 - ∆ ) α / 2 X ( s ) = φ W ( s ) , donde W ( s ) es ruido blanco gaussiano con varianza unitaria, Δ = d ∑ i = 1 ∂ $\mathbb{R}^d$

$$(κ^2 − ∆)^{α/2} X(s) = φW(s),$$ $W(s)$ es el operador de Laplace, yα=ν+d/2(creo que esto está enCressie y Wikle). $$\Delta = \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2}{\partial x^2_i}$$ $α =ν + d/2$

¿Por qué elegir este proceso SPDE / estocástico en particular? El origen está en las estadísticas espaciales, donde se argumenta que es la covarianza más simple y natural que funciona bien en :$\mathbb{R}^2$

La función de correlación exponencial es una correlación natural en una dimensión, ya que corresponde a un proceso de Markov. En dos dimensiones esto ya no es así, aunque la exponencial es una función de correlación común en el trabajo geoestadístico. Whittle (1954) determinó la correlación correspondiente a una ecuación diferencial estocástica de tipo Laplace:

$$\left[ \left(\frac{\partial}{\partial t_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial}{\partial t_2}\right)^2 - \kappa^2 \right] X(t_1, t_2) = \epsilon(t_1 , t_2)$$ $\epsilon$

$AR(1)$$AR(p)$$p$

Esta función de covarianza no está relacionada con el proceso de clúster de Matérn.

Referencias

Cressie, Noel y Christopher K. Wikle. Estadísticas para datos espacio-temporales. John Wiley & Sons, 2015.

Guttorp, Peter y Tilmann Gneiting. "Estudios en la historia de probabilidad y estadística XLIX sobre la familia de correlación Matern". Biometrika 93.4 (2006): 989-995.

Rasmussen, CE y Williams, CKI Gaussian Processes for Machine Learning. MIT Press, 2006.

No lo sé, pero esta pregunta me pareció muy interesante y esto es lo que obtuve después de leer un poco sobre ella.

$\nu$$\nu = 5/2$

$$C_{5/2}(d) = \sigma^2\left(1 + \frac{\sqrt 5 d}{\rho} + \frac{5d^2}{3\rho^2} \right) \exp \left(- \frac{\sqrt 5 d}{\rho}\right)$$ $\nu \to \infty$$C_\nu$ $$\lim_{\nu \to \infty} C_\nu(d) = \sigma^2 \exp \left( -\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$$ $\nu = 1/2$ $$C_{1/2}(d) = \sigma^2 \exp\left( -\frac{d}{\rho} \right)$$

$\nu$$\lceil \nu \rceil -1$

Esto se demuestra bastante bien en una imagen tomada de Rasmussen y Williams (2006)

En Interpolation of Spatial Data , Stein (que en realidad propuso el nombre de la función de covarianza de Matérn), argumenta (pág. 30) que la diferenciabilidad infinita de la función de covarianza gaussiana produce resultados poco realistas para los procesos físicos, ya que al observar solo una pequeña fracción continua de espacio / tiempo debería, en teoría, producir toda la función. Por lo tanto, propuso la versión de Matérn como una generalización que puede hacer coincidir los procesos físicos de manera más realista.

Resumen

$\nu$

$\nu$