¿Por qué la introducción de un efecto de pendiente aleatorio amplió el SE de la pendiente?

Estoy tratando de analizar el efecto del año en el registro variable para un grupo particular de individuos (tengo 3 grupos). El modelo más simple:

> fix1 = lm(logInd ~ 0 + Group + Year:Group, data = mydata)
> summary(fix1)

Call:
lm(formula = logInd ~ 0 + Group + Year:Group, data = mydata)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-5.5835 -0.3543 -0.0024  0.3944  4.7294 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
Group1       4.6395740  0.0466217  99.515  < 2e-16 ***
Group2       4.8094268  0.0534118  90.044  < 2e-16 ***
Group3       4.5607287  0.0561066  81.287  < 2e-16 ***
Group1:Year -0.0084165  0.0027144  -3.101  0.00195 ** 
Group2:Year  0.0032369  0.0031098   1.041  0.29802    
Group3:Year  0.0006081  0.0032666   0.186  0.85235    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.7926 on 2981 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9717,     Adjusted R-squared: 0.9716 
F-statistic: 1.705e+04 on 6 and 2981 DF,  p-value: < 2.2e-16

Podemos ver que el Grupo 1 está disminuyendo significativamente, los Grupos 2 y 3 aumentan, pero no significativamente.

Claramente, el individuo debe ser un efecto aleatorio, por lo que presento un efecto de intercepción aleatoria para cada individuo:

> mix1a = lmer(logInd ~ 0 + Group + Year:Group + (1|Individual), data = mydata)
> summary(mix1a)
Linear mixed model fit by REML 
Formula: logInd ~ 0 + Group + Year:Group + (1 | Individual) 
   Data: mydata 
  AIC  BIC logLik deviance REMLdev
 4727 4775  -2356     4671    4711
Random effects:
 Groups     Name        Variance Std.Dev.
 Individual (Intercept) 0.39357  0.62735 
 Residual               0.24532  0.49530 
Number of obs: 2987, groups: Individual, 103

Fixed effects:
              Estimate Std. Error t value
Group1       4.6395740  0.1010868   45.90
Group2       4.8094268  0.1158095   41.53
Group3       4.5607287  0.1216522   37.49
Group1:Year -0.0084165  0.0016963   -4.96
Group2:Year  0.0032369  0.0019433    1.67
Group3:Year  0.0006081  0.0020414    0.30

Correlation of Fixed Effects:
            Group1 Group2 Group3 Grp1:Y Grp2:Y
Group2       0.000                            
Group3       0.000  0.000                     
Group1:Year -0.252  0.000  0.000              
Group2:Year  0.000 -0.252  0.000  0.000       
Group3:Year  0.000  0.000 -0.252  0.000  0.000

Tuvo un efecto esperado: el SE de las pendientes (coeficientes Grupo 1-3: Año) ahora es más bajo y el SE residual también es más bajo.

Los individuos también son diferentes en pendiente, así que también introduje el efecto de pendiente aleatorio:

> mix1c = lmer(logInd ~ 0 + Group + Year:Group + (1 + Year|Individual), data = mydata)
> summary(mix1c)
Linear mixed model fit by REML 
Formula: logInd ~ 0 + Group + Year:Group + (1 + Year | Individual) 
   Data: mydata 
  AIC  BIC logLik deviance REMLdev
 2941 3001  -1461     2885    2921
Random effects:
 Groups     Name        Variance  Std.Dev. Corr   
 Individual (Intercept) 0.1054790 0.324775        
            Year        0.0017447 0.041769 -0.246 
 Residual               0.1223920 0.349846        
Number of obs: 2987, groups: Individual, 103

Fixed effects:
              Estimate Std. Error t value
Group1       4.6395740  0.0541746   85.64
Group2       4.8094268  0.0620648   77.49
Group3       4.5607287  0.0651960   69.95
Group1:Year -0.0084165  0.0065557   -1.28
Group2:Year  0.0032369  0.0075105    0.43
Group3:Year  0.0006081  0.0078894    0.08

Correlation of Fixed Effects:
            Group1 Group2 Group3 Grp1:Y Grp2:Y
Group2       0.000                            
Group3       0.000  0.000                     
Group1:Year -0.285  0.000  0.000              
Group2:Year  0.000 -0.285  0.000  0.000       
Group3:Year  0.000  0.000 -0.285  0.000  0.000

Pero ahora, al contrario de lo esperado, el SE de las pendientes (coeficientes Grupo 1-3: Año) ahora es mucho más alto, ¡incluso más alto que sin ningún efecto aleatorio!

¿Cómo es esto posible? ¡Esperaría que el efecto aleatorio "comiera" la variabilidad inexplicada y aumente la "seguridad" de la estimación!

Sin embargo, el SE residual se comporta como se esperaba: es más bajo que en el modelo de intercepción aleatoria.

Aquí están los datos si es necesario.

Editar

Ahora me di cuenta de un hecho asombroso. Si hago la regresión lineal para cada individuo por separado y luego ejecuto ANOVA en las pendientes resultantes, ¡obtengo exactamente el mismo resultado que el modelo de pendiente aleatorio! ¿Sabrías por qué?

indivSlope = c()
for (indiv in 1:103) {
    mod1 = lm(logInd ~ Year, data = mydata[mydata$Individual == indiv,])
    indivSlope[indiv] = coef(mod1)['Year']
}

indivGroup = unique(mydata[,c("Individual", "Group")])[,"Group"]


anova1 = lm(indivSlope ~ 0 + indivGroup)
summary(anova1)

Call:
lm(formula = indivSlope ~ 0 + indivGroup)

Residuals:
      Min        1Q    Median        3Q       Max 
-0.176288 -0.016502  0.004692  0.020316  0.153086 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
indivGroup1 -0.0084165  0.0065555  -1.284    0.202
indivGroup2  0.0032369  0.0075103   0.431    0.667
indivGroup3  0.0006081  0.0078892   0.077    0.939

Residual standard error: 0.04248 on 100 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.01807,    Adjusted R-squared: -0.01139 
F-statistic: 0.6133 on 3 and 100 DF,  p-value: 0.6079

Aquí están los datos si es necesario.

r mixed-model lme4-nlme random-effects-model

— Curioso
fuente

Necesita un efecto fijo de año si va a tener un año: efecto fijo de interacción grupal. En general, no puede incluir un término de interacción sin incluir también los efectos principales. ¿Realmente crees que no hay un componente fijo para el efecto del año? Y, de ser así, ¿cómo podría haber un año fijo: interacción grupal?

— John

Y, ¿por qué no hay intercepción fija? Puede tener ambos, fijos y aleatorios.

— John

@ John, este modelo es completamente válido. Esto es solo un problema de la codificación deseada de la variable categórica. De esta manera, es la intersección del Grupo , y es la pendiente dentro del Grupo . Si se incluye el efecto principal de Año y la intersección, las estimaciones serían las diferencias de la intersección del Grupo y el Grupo 1, y de manera similar con las pendientes. Group

i

$i$

i

$i$ Group

i

$i$ :Year

i

$i$

i

$i$

— Aniko

@John, esto está fuera de tema para mi pregunta, sin embargo: créeme, está bien, hice muchos experimentos con eso. Mi primer modelo de película es completamente equivalente a logInd ~ Year*Group, solo los coeficientes están en forma diferente, nada más. Depende de su gusto y qué forma de coeficientes le guste, nada más. No hay exclusión del "efecto principal del año" en mi primer modelo mientras escribe ... logInd ~ Year*Grouphace exactamente lo mismo, el Yearcoeficiente no es el efecto principal, sino el Grupo1: Año.

— Curioso

Bien, ordenado, no había considerado tanto la intercepción 0 como el Grupo como categóricos.

— John

Creo que el problema es con sus expectativas :) Tenga en cuenta que cuando agregó una intercepción aleatoria para cada individuo, el error estándar de las intercepciones aumentó. Como cada individuo puede tener su propia intercepción, el promedio grupal es menos seguro. Lo mismo sucedió con la pendiente aleatoria: ya no está estimando una pendiente común (dentro del grupo), sino el promedio de pendientes variables.

EDITAR: ¿Por qué un modelo mejor no da una estimación más precisa?

Pensemos al revés: ¿por qué el modelo inicial subestima el error estándar? Supone la independencia de las observaciones que no son independientes. El segundo modelo relaja esa suposición (de una manera que afecta las intersecciones), y el tercero la relaja aún más.

EDIT 2: relación con muchos modelos específicos del paciente

Su observación es una propiedad conocida (y si tuviera solo dos años, entonces el modelo de efectos aleatorios sería equivalente a una prueba t pareada). No creo que pueda manejar una prueba real, pero tal vez escribir los dos modelos aclarará la relación. Ignoremos la variable de agrupación, ya que solo complicaría la notación. Usaré letras griegas para efectos aleatorios y letras latinas para efectos fijos.

El modelo de efectos aleatorios es ( - subject, - replicate dentro de subject): donde y . $i$ $j$

Y_{i j} = a + α_{i} + (b + β_{i}) x_{i j} + ϵ_{i j},

$Y_{ij} = a + \alpha_i + (b+\beta_i)x_{ij} + \epsilon_{ij},$

(α_{i}, β_{i})^{'} \sim N (0, Σ)

$(\alpha_i,\beta_i)'\sim N(0,\Sigma)$

ϵ_{i j} \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$

Cuando ajusta modelos separados para cada sujeto, entonces donde .

Y_{i j} = a_{i} + b_{i} x_{i j} + ϵ_{i j},

$Y_{ij} = a_i + b_i x_{ij}+ \epsilon_{ij},$

ϵ_{i j} \sim N (0, σ_{i}^{2})

$\epsilon_{ij}\sim N(0,\sigma_i^2)$

[Nota: lo siguiente es realmente solo un saludo manual:]

Puede ver muchas similitudes entre estos dos modelos con correspondiente a y a . El promedio de corresponde a , porque los efectos aleatorios promedian 0. La correlación sin restricciones de la intersección aleatoria y la pendiente lleva al hecho de que los modelos solo pueden ajustarse por separado. No estoy seguro de cómo la suposición única se específico del , pero supongo que detecta la diferencia. $a_i$ $a+\alpha_i$ $b_i$ $b+\beta_i$ $b_i$ $b$ $\sigma$ $\sigma_i$ $\alpha_i$

— Aniko
fuente

Gracias aniko Tienes razón, mis cálculos lo confirman, pero me gustaría ver por qué ... Parece contradictorio. Mejoré los modelos: al introducir efectos aleatorios, describí mejor la estructura de error. El error residual lo confirma: es cada vez más bajo. Entonces, con estos modelos mejores y más precisos, esperaría una pendiente más precisa ... Sé que estoy equivocado en alguna parte, por favor, ayúdame a verlo.

— Curioso

Gracias Aniko, ¡ese es un punto de vista interesante! Solo me interesan las pendientes (Grupo *: Año), no interceptar aquí ... así que mi primer paso de introducir el efecto aleatorio itcept relajó esa suposición de independencia y condujo a un SE más bajo (de pendiente ...) y luego el siguiente paso probablemente fue demasiado (??) e hizo lo contrario (peor aún SE ..) .. tal vez necesito pensarlo, gracias.

— Curioso

Ahora también estoy asombrado por un hecho muy interesante: vea mi edición. ¿Sabrías por qué es eso?

— Curioso

¡No creo que el supuesto de independencia se haya relajado demasiado! Estaba mal para empezar.

— Aniko

Tomás, un modelo "preciso" no significa que las estimaciones sean más precisas. Como ejemplo extremo, tome cualquier modelo libre de datos que desee, como uno que predice que todas las respuestas son cero. Este modelo es absolutamente cierto en su estimación de cero. Por lo tanto, es lo más preciso posible, pero probablemente también sea lo más incorrecto posible. Por lo tanto, dar a un modelo un mayor alcance para ajustar los parámetros generalmente significa que esos parámetros se ajustan con menos precisión, no más. Un modelo mejor, porque puede cuantificar la incertidumbre no captada por un modelo peor, a menudo tiene errores estándar más grandes.

— whuber