No es una respuesta completa, lo siento, pero algunas ideas (para anhelar un comentario). Tenga en cuenta que lo que tiene es un producto de iid variables aleatorias, donde es una variable aleatoria (rv) con una distribución de Poisson con parámetro . Eso se puede usar para otro "control de cordura", una simulación (usando exponenciales de tasa 1):K+1Kλ
set.seed(7*11*13)
N <- 1000000
prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1
for (i in 1:N) {
k <- ks[i]
prods[i] <- prod( rexp(k, 1))
}
qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)
El resultado qqplot
(no se muestra aquí) está lejos de ser una línea recta, por lo que no parece ser un exponencial de la tasa 1. La media es correcta, la varianza es grande, hay una cola derecha mucho más larga que para un exponencial. ¿Qué se puede hacer teóricamente? La transformación Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform está adaptada a productos de variables aleatorias independientes. Calcularé solo para el exponencial con la tasa 1. La transformación de Mellin de es
por lo que la transformada de Mellin de un producto de iid exponenciales es
Dado queV0
M1(s)=EVs0=∫∞0xse−xdx=Γ(s+1)
k+1Mk+1(s)=Γ(s+1)k+1
Ktiene una distribución de Poisson con parámetro , la transformada de Mellin del producto aleatorio de un número aleatorio factores, es
pero no puedo encontrar un inverso de esta transformación. Pero tenga en cuenta que si es una variable aleatoria no negativa con la transformación de Mellin , entonces, definiendo , encontramos que
por lo que la transformación Mellin de es la función generadora de momento de su logaritmo
λK+1M(s)=EMK+1(s)=EΓ(s+1)K+1=Γ(s+1)e−λ∑k=0∞λkk!Γ(s+1)k=e−λΓ(s+1)eλΓ(s+1)
XMX(t)Y=logXKY(t)=EetY=EetlogX=Eelog(Xt)=EXt=MX(y)
XY. Entonces, usando eso podemos aproximar la distribución de con métodos de aproximación de punto de silla de montar,
¿Cómo funciona la aproximación de punto de silla de montar? y busca en este sitio.
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