La suma de la combinación lineal del producto de exponenciales es exponencial


8

Este problema ha surgido en mi investigación: supongamos que son distribuciones exponenciales (ED) con una media y que sea ​​un número no negativo. ¿Es cierto que Esto pasa la comprobación de cordura, ya que el valor esperado de ambos lados es igual a , y si dejamos , entonces el lado izquierdo es igual a , que es exponencial. Aparte de eso, no estoy seguro de cómo abordar este problema, ya que no sé cómo lidiar con el producto de la disfunción eréctil.ViED1λ

k=0λkeλV0Vkk!ED?
1λ=0V0

¿Cómo se garantiza que esta es una declaración verdadera?
Zhanxiong

@Zhanxiong No estoy del todo seguro de si es verdad, por eso pregunto si alguien puede proporcionar una prueba (o refutarla si es falsa).
Alex

ok, entonces deberías evitar usar "probar eso"
Zhanxiong

Mi mal, edité la pregunta.
Alex

¿Es la misma tasa / parámetro medio para los RV exp? λ
AdamO

Respuestas:


3

No es una respuesta completa, lo siento, pero algunas ideas (para anhelar un comentario). Tenga en cuenta que lo que tiene es un producto de iid variables aleatorias, donde es una variable aleatoria (rv) con una distribución de Poisson con parámetro . Eso se puede usar para otro "control de cordura", una simulación (usando exponenciales de tasa 1):K+1Kλ

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

El resultado qqplot(no se muestra aquí) está lejos de ser una línea recta, por lo que no parece ser un exponencial de la tasa 1. La media es correcta, la varianza es grande, hay una cola derecha mucho más larga que para un exponencial. ¿Qué se puede hacer teóricamente? La transformación Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform está adaptada a productos de variables aleatorias independientes. Calcularé solo para el exponencial con la tasa 1. La transformación de Mellin de es por lo que la transformada de Mellin de un producto de iid exponenciales es Dado queV0

M1(s)=EV0s=0xsexdx=Γ(s+1)
k+1
Mk+1(s)=Γ(s+1)k+1
Ktiene una distribución de Poisson con parámetro , la transformada de Mellin del producto aleatorio de un número aleatorio factores, es pero no puedo encontrar un inverso de esta transformación. Pero tenga en cuenta que si es una variable aleatoria no negativa con la transformación de Mellin , entonces, definiendo , encontramos que por lo que la transformación Mellin de es la función generadora de momento de su logaritmoλK+1
M(s)=EMK+1(s)=EΓ(s+1)K+1=Γ(s+1)eλk=0λkk!Γ(s+1)k=eλΓ(s+1)eλΓ(s+1)
XMX(t)Y=logX
KY(t)=EetY=EetlogX=Eelog(Xt)=EXt=MX(y)
XY. Entonces, usando eso podemos aproximar la distribución de con métodos de aproximación de punto de silla de montar, ¿Cómo funciona la aproximación de punto de silla de montar? y busca en este sitio.X

44
(+1) Incluso el producto de dos exponenciales no tiene una densidad de forma cerrada.
Xi'an

2
hubo una publicación en SE que muestra que un producto de tres exponenciales no tiene momentos o algo por el estilo
Aksakal

1
Gracias kjetil. Estaba bastante seguro de que la respuesta también era negativa, pero esas son buenas razones por las cuales.
Alex

1
@ Aksakal: el producto de exponencial independiente tiene todos los momentos finitos. k
Xi'an

1
... y el producto como converge a cero. V0Vk
Xi'an
Al usar nuestro sitio, usted reconoce que ha leído y comprende nuestra Política de Cookies y Política de Privacidad.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.