¿Cómo programar una simulación de Monte Carlo de la paradoja de la caja de Bertrand?

El siguiente problema ha sido publicado en la página de Facebook de Mensa International:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

La publicación en sí recibió más de 1000 comentarios, pero no entraré en detalles sobre el debate allí, ya que sé que esta es la paradoja de Bertrand y la respuesta es . Lo que me interesa aquí es cómo se responde a este problema utilizando un enfoque de Monte Carlo. ¿Cómo es el algoritmo para resolver este problema?$\frac23$

Aquí está mi intento:

1. Genere números aleatorios distribuidos uniformemente entre y .0 $N$$0$$1$
2. Deje que el evento de la caja contenga 2 bolas de oro (casilla 1) seleccionadas, sea menos de la mitad.
3. Contar los números que menos de y llame el resultado como .$0.5$$S$
4. Dado que es seguro obtener una bola de oro si se selecciona la casilla 1 y solo hay un 50% de posibilidades de obtener una bola de oro si se selecciona la casilla 2, por lo tanto, la probabilidad de obtener una secuencia GG es $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

Implementando el algoritmo anterior en R:

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

La salida del programa anterior es de alrededor de que casi coincide con la respuesta correcta, pero no estoy seguro de que esta sea la forma correcta. ¿Hay una manera adecuada de resolver este problema mediante programación?$0.67$

Al igual que @Henry , realmente no creo que tu solución sea un Monte Carlo. Seguramente, muestra de la distribución, pero no tiene mucho que ver con imitar el proceso de generación de datos. Si desea usar Monte Carlo para convencer a alguien de que la solución teórica es correcta, necesitaría usar una solución que imite el proceso de generación de datos. Me imagino que es algo como a continuación:

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

o usando el código "vectorizado":

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

Tenga en cuenta que, dado que condiciona el hecho de que la primera bola ya estaba dibujada y es dorada, el código anterior simplemente podría usar dos cuadros boxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))y luego x <- boxes[[sample(2, 1)]]tomar muestras de ellos , por lo que el código sería más rápido ya que no haría el 1/3 carreras vacías que descontamos. Sin embargo, dado que el problema es simple y el código se ejecuta rápidamente, podríamos permitirnos simular explícitamente todo el proceso de generación de datos "para estar seguros" de que el resultado es correcto. Además de eso, este paso no es necesario ya que produciría los mismos resultados en ambos casos.

Siento que tu S/(S+0.5*(N-S))cálculo no es realmente simulación

Intenta algo como esto

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

¿Por qué no simplemente enumerar los casos?

Aquí: G es para "oro", S es para "plata", el capital es para la extracción inicial:

Gg

gG

Gs

... todos los demás casos invocan una extracción inicial de plata (S) y no satisfacen el condicional (extracción inicial G).

Tal, P (g | G) = 2/3.